Трикутна хвиля

Анімація адитивним синтезом трикутної хвилі зі збільшенням кількості гармонік. Див. Фур'є-аналіз для математичного опису.

Можна апроксимувати трикутну хвилю адитивним синтезом, підсумовуючи непарні гармоніки основної частоти, домножуючи кожну іншу непарну гармоніку на ${\displaystyle -1}$ (або, еквівалентно, змінюючи її фазу на π) і домножуючи амплітуду гармонік на обернений квадрат їх номера моди ${\displaystyle n}$ (або на обернений квадрат їх відносної частоти до фундаментальної).

Вищесказане можна математично узагальнити наступним чином:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\mathrm {triangle} }(t)&{}={\frac {8}{\pi ^{2}}}\sum _{i=0}^{N-1}(-1)^{i}n^{-2}\sin \left(2\pi f_{0}nt\right)\end{aligned}}}$,

де ${\displaystyle N}$ — кількість гармонік, що включаються в наближення, ${\displaystyle t}$ — незалежна змінна (наприклад, час для звукових хвиль), ${\displaystyle f_{0}}$ — основна частота, а ${\displaystyle i}$ — індекс гармоніки, яка пов'язана з номером її моди, ${\displaystyle n=2i+1}$.

Цей нескінченний ряд Фур'є сходиться до трикутної хвилі, коли ${\displaystyle N}$ прямує до нескінченності як показано на анімації.

Синусоїдальні, прямокутні, трикутні, та пилкоподібні хвилі

Ще одне означення трикутної хвилі на інтервалі від ${\displaystyle -1}$ до ${\displaystyle 1}$ та з періодом ${\displaystyle p}$:

${\displaystyle x(t)={\frac {4}{p}}\left(t-{\frac {p}{2}}\left\lfloor {\frac {2t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)(-1)^{\left\lfloor {\frac {2t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }}$,

де символ ${\displaystyle \lfloor n\rfloor }$ — функція підлоги від ${\displaystyle n}$.

Також трикутна хвиля може бути абсолютним значенням пилкоподібної хвилі :

${\displaystyle x(t)=2\left|{t \over p}-\left\lfloor {t \over p}+{1 \over 2}\right\rfloor \right|}$

або для інтервалу від ${\displaystyle -1}$ до ${\displaystyle 1}$:

${\displaystyle x(t)=2\left|2\left({t \over p}-\left\lfloor {t \over p}+{1 \over 2}\right\rfloor \right)\right|-1.}$

Трикутна хвиля також може бути виражена як інтеграл

${\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn} (\sin(u))\,{\rm {d}}u}$.

Це просте рівняння з періодом ${\displaystyle 4}$ та початковим значенням ${\displaystyle y(0)=1}$:

${\displaystyle y(x)=|x\,{\bmod {\,}}4-2|-1}$.

Оскільки у цьому представлені використовується лише функція модулята абсолютне значення, то це можна використовувати для простої реалізації трикутної хвилі на апаратній електроніці з малою потужністю процесора. Попереднє рівняння можна узагальнити на випадок періоду ${\displaystyle p}$, амплітуди ${\displaystyle a}$ і початкового значення ${\displaystyle y(0)=a/2}$:

${\displaystyle y(x)={\frac {2a}{p}}{\biggl |}\left(x{\bmod {p}}\right)-{\frac {p}{2}}{\biggr |}-{\frac {2a}{4}}.}$

Попередня функція - це частковий випадок останньої при ${\displaystyle a=2}$ і ${\displaystyle p=4}$:

${\displaystyle y(x)={\frac {2\cdot 2}{4}}{\biggl |}\left(x{\bmod {4}}\right)-{\frac {4}{2}}{\biggr |}-{\frac {2\cdot 2}{4}}\Leftrightarrow }$

${\displaystyle y(x)=|\left(x{\bmod {4}}\right)-2|-1.}$

Непарну версію першої функції можна отримати, просто змістити на одиницю початкове значення, що змінить фазу вихідної функції:

${\displaystyle y(x)=|(x-1)\,{\bmod {\,}}4-2|-1.}$

Узагальнюючи це, одержуємо непарну функцію для будь-якого періоду і амплітуди:

${\displaystyle y(x)={\frac {4a}{p}}{\biggl |}\left(\left(x-{\frac {p}{4}}\right){\bmod {p}}\right)-{\frac {p}{2}}{\biggr |}-a.}$

За допомогою функцій sine та arcsine з періодом ${\displaystyle p}$ та амплітудою ${\displaystyle a}$ трикутну хвилю можна записати у вигляді:

${\displaystyle y(x)={\frac {2a}{\pi }}\arcsin \left(\sin \left({\frac {2\pi }{p}}x\right)\right).}$

Довжина дуги за період ${\displaystyle s}$ для трикутної хвилі заданої амплітуди ${\displaystyle a}$ та періодом ${\displaystyle p}$ :

${\displaystyle s={\sqrt {(4a)^{2}+p^{2}}}.}$

• Список періодичних функцій
• Кусково-лінійна функція
• Основна частота
• Зигзаг
• Синусоїда
• Прямокутна хвиля
• Функція підлоги та стелі
• Абсолютне значення
• Функція модуля
• Адитивний синтез
• Пилкоподібна хвиля

• Weisstein, Eric W. Fourier Series - Triangle Wave(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.