Ціла частина числа

Наступні формули можна використовувати для спрощення виразів, що включають функцій підлоги та стелі.[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor =m&\;\;{\mbox{ тоді і тільки тоді }}&m&\leq x<m+1,\\\lceil x\rceil =n&\;\;{\mbox{ тоді і тільки тоді }}&n-1&<x\leq n,\\\lfloor x\rfloor =m&\;\;{\mbox{ тоді і тільки тоді }}&x-1&<m\leq x,\\\lceil x\rceil =n&\;\;{\mbox{ тоді і тільки тоді }}&x&\leq n<x+1.\end{aligned}}}$

На мові відношень порядку функція підлоги є залишковим відображенням, тобто частиною відповідності Галуа: це верхнє спряження функції, яке вкладує цілі числа в дійсні числа.

${\displaystyle {\begin{aligned}x<n&\;\;{\mbox{ тоді і тільки тоді }}&\lfloor x\rfloor &<n,\\n<x&\;\;{\mbox{ тоді і тільки тоді }}&n&<\lceil x\rceil ,\\x\leq n&\;\;{\mbox{ тоді і тільки тоді }}&\lceil x\rceil &\leq n,\\n\leq x&\;\;{\mbox{ тоді і тільки тоді }}&n&\leq \lfloor x\rfloor .\end{aligned}}}$

Наступні формули показують, як додавання цілих чисел до аргументу впливає на функції:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x+n\rfloor &=\lfloor x\rfloor +n,\\\lceil x+n\rceil &=\lceil x\rceil +n,\\\{x+n\}&=\{x\}.\end{aligned}}}$

Вищезазначені формули невірні, якщо n не є цілим числом; однак для будь-яких x, y мають місце наступні нерівності:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor &\leq \lfloor x+y\rfloor \leq \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1&\leq \lceil x+y\rceil \leq \lceil x\rceil +\lceil y\rceil .\end{aligned}}}$

З означень випливає, що

${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil ,}$   причому рівність можлива, тоді і тільки тоді, коли x - ціле число, тобто

${\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0,&{\mbox{якщо}}x\in \mathbb {Z} ,\\1,&{\mbox{якщо}}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

Насправді для цілих чисел n і значення функцій підлоги і стелі збігаються :

${\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n.}$

Зміна знаку аргументу, міняє місцями функції підлоги та стелі і змінює знак:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil =0,\\-\lfloor x\rfloor =\lceil -x\rceil ,\\-\lceil x\rceil =\lfloor -x\rfloor ,\end{aligned}}}$

і:

${\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0&{\text{якщо }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\text{якщо }}x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}}$

${\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0&{\text{ якщо }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{якщо }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

Зміна знаку аргументу доповнює дробову частину:

${\displaystyle \{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0,&{\text{якщо}}x\in \mathbb {Z} ,\\1,&{\text{якщо}}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

Функції підлоги, стелі та дробової частини є ідемпотентними:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\Big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor ,\\{\Big \lceil }\lceil x\rceil {\Big \rceil }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \{}\{x\}{\Big \}}&=\{x\}.\end{aligned}}}$

Результатом композиції функцій підлоги та стелі є внутрішня функція:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lceil x\rceil {\Big \rfloor }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \lceil }\lfloor x\rfloor {\Big \rceil }&=\lfloor x\rfloor \end{aligned}}}$

завдяки властивості тотожності для цілих чисел.

Якщо m і n цілі числа, а n ≠ 0, то

${\displaystyle 0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}.}$

Якщо n - натуральне число,[2] то

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,}$

${\displaystyle \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil .}$

Якщо m додатне,[3] то

${\displaystyle n=\left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil ,}$

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor .}$

Для m = 2 отримуємо

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil .}$

У загальному випадку,[4] для додатнього m (див.тотожність Ерміта)

${\displaystyle \lfloor mx\rceil =\lceil x\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil ,}$

${\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\lfloor x\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor .}$

Для перетворення між функціями підлоги та стелі можна використати наступні формули (m додатне)[5]

${\displaystyle \left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1,}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1.}$

Для всіх натуральних чисел m і n:[6]

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {\left(m-1\right)\left(n-1\right)+\gcd \left(m,n\right)-1}{2}},}$

яка при додатних [[Взаємно прості числа|взаємнопростих} m і n зводиться до

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {1}{2}}\left(m-1\right)\left(n-1\right).}$

Оскільки права частина у загального випадку симетрична відносно m і n, то

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {m}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {\left(n-1\right)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {\left(m-1\right)n}{m}}\right\rfloor .}$

І нарешті, для додатних m і n,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor \\=&\left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}}$

це співвідношення іноді називають законом взаємності.[7]

Для додатного цілого n і довільних дійсних чисел m, x:[8]

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {\lfloor x/m\rfloor }{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor ,}$

${\displaystyle \left\lceil {\frac {\lceil x/m\rceil }{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil .}$

Жодна з функцій, обговорюваних у цій статті, не є неперервною, але всі - кусково-лінійні: функції ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$, ${\displaystyle \lceil x\rceil }$, і ${\displaystyle \{x\}}$ мають розриви в цілих числах. Функція ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ є напівнеперервною зверху і функції ${\displaystyle \lceil x\rceil }$ і ${\displaystyle \{x\}}$ - напівнеперервні знизу.

Оскільки жодна з функцій, розглянутих у цій статті, не є неперервною, тому жодна з них не допускає розклад у вигляді степеневих рядів. Оскільки функції підлоги і стелі неперіодичні, то вони не допускають рівномірно збіжних розкладів у вигляді рядів Фур'є. Функція дробової частини має розклад у ряд Фур'є[9]

${\displaystyle \{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi kx\right)}{k}}}$

для x не цілого числа.

У точках розриву ряд Фур'є збігається до значення, яке є середнім його границь зліва та справа, на відміну від функцій підлоги, стелі та дробової частини: для фіксованого y і x кратного y ряд Фур'є дає збіжність до y/2, а не до ${\displaystyle x\mod y=0}$. У точках неперервності ряд збігається до відповідного значення функції.

З формули ${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-\{x\}}$ отримуємо

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$

для x не цілого числа.