Пилкоподібна хвиля

Пилкоподібна хвиля — це різновид несинусоїдальної форми хвилі. Її так називають через схожість з зубцями звичайної зубчастої пилки з нульовим кутом попереду.

Обмежена пилкоподібна хвиля: залежність від часу (вгорі) та частоти (внизу). Основна частота складає 220 Гц ${\displaystyle (A_{3})}$.

Домовленість полягає в тому, що пилкоподібна хвиля наростає, а потім різко опускається. Однак, у зворотній пилкоподібній хвилі, хвиля падає вниз і потім різко піднімається. Це також можна вважати граничним випадком асиметричної трикутної хвилі.[1]

Кусково-лінійна функція

${\displaystyle x(t)=t-\underbrace {\lfloor t\rfloor } _{\operatorname {floor} (t)}}$,

або в еквівалентній формі

${\displaystyle x(t)=t{\pmod {1}}}$,

на основі функції цілої частини числа, є прикладом пилкоподібної хвилі з періодом 1.

Більш загальною формою пилкоподібної хвилі на інтервалі від ${\displaystyle (-1;1)}$ і з періодом ${\displaystyle a}$ є

${\displaystyle 2\left({\frac {t}{a}}-\left\lfloor {\frac {1}{2}}+{\frac {t}{a}}\right\rfloor \right)}$.

Ця пилкоподібна функція має ту саму фазу, що і функція синус.

Ще одним прикладом є тригонометрична функція з періодом ${\displaystyle p}$ та амплітудою ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle y(x)=-{\frac {2a}{\pi }}\arctan \left(\cot \left({\frac {x\pi }{p}}\right)\right)}$.

У той час як прямокутна хвиля побудована лише з непарних гармонік, звук пилкоподібної хвилі різкий і чіткий, а її спектр містить як парні, так і непарні гармоніки основної частоти. Оскільки він містить усі цілі гармоніки, це одна з найкращих форм хвиль, яка використовується для субтрактивного синтезу музичних звуків, особливо смичкових струнних інструментів, таких як скрипки та віолончелі, внаслідок феномену ковзання смички по струні з пилкоподібним рухом.[2]

Пилкополідна хвиля може бути побудована за допомогою аддитивного синтезу. Нескінченний ряд Фур'є

${\displaystyle x_{\text{reverse sawtooth}}(t)={\frac {2A}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)}^{k}{\frac {\sin(2\pi kft)}{k}}}$

збігається до зворотної (оберненої) пилкоподібної хвилі. Звичайна пилкоподібна хвиля може бути побудована за допомогою формули

${\displaystyle x_{\mathrm {sawtooth} }(t)={\frac {A}{2}}-{\frac {A}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)}^{k}{\frac {\sin(2\pi kft)}{k}}}$,

де ${\displaystyle A}$ — амплітуда.

У цифровому синтезі цей ряд підсумовується за ${\displaystyle k}$ таким чином, що найвища гармоніка ${\displaystyle N_{\text{max}}}$ менша від частоти Найквіста (половина дискретизованої частоти). Цю суму ефективніше можна обчислити за допомогою швидкого перетворення Фур'є. Якщо форма хвилі в цифровій формі створюється безпосередньо в часовій області за допомогою необмеженої форми, такої як ${\displaystyle y=x-}$floor(${\displaystyle x}$), нескінченні гармоніки відбираються, і отриманий тон містить аліасингові спотворення.

Анімація адитивного синтезу пилкоподібної хвилі зі збільшенням кількості гармонік.

Аудіо демонстрація пилкоподібних звуків при 440Hz ${\displaystyle (A_{\text{4}})}$, 880Hz ${\displaystyle (A_{\text{5}})}$ і 1,760Hz ${\displaystyle (A_{\text{6}})}$ доступна нижче. Представлено обмежений (неаліасинговий) та аліасинговий тони.