Форма об'єму

Форма об'єму — диференціальна форма найвищої розмірності на гладкому многовиді (тобто $n$ -форма на $n$ -мірному многовиді), яка не обнуляється ні в одній точці.

Форма об'єму дозволяє визначити інтеграл функції на многовиді. Іншими словами, форма об'єму задає міру, за якою можна інтегрувати функції.

Властивості

Гладкий многовид має форму об'єму тоді і тільки тоді, коли він орієнтовний.
На многовиді з формою об'єму $\omega$ , дивергенцію векторного поля $X$ можна визначити за допомогою наступних тотожностей:
$(\operatorname {div} X)\cdot \omega ={\mathcal {L}}_{X}\omega =d(X\;\lrcorner \;\omega )$

де

{\mathcal {L}}_{X}

позначає похідну Лі за

X

,

d

— зовнішній диференціал, а

X\;\lrcorner \;\omega

— операцію підстановки

X

в

\omega

.

Література

Spivak, Michael (1965). Calculus on Manifolds. Reading, Massachusetts: W.A. Benjamin, Inc. ISBN 0-8053-9021-9..

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.