Диференціальна форма

Диференціальна форма порядку або -форма — кососиметричне тензорне поле типу на дотичному розшаруванні многовиду.

Диференціальні форми введені французьким математиком Елі Картаном на початку XX століття.

Формалізм диференціальних форм є зручним в багатьох розділах теоретичної фізики і математики, зокрема, в теоретичній механіці, симплектичній геометрії, квантовій теорії поля.

Простір -форм на многовиді звичайно позначають .

Визначення

Інваріантне

У диференціальній геометрії, диференціальна форма степеня  — це гладкий перетин -го зовнішнього степеня кодотичного розшарування многовиду.

Нехай M гладкий многовид, TpM дотичний простір многовиду M в точці p, T*pM кодотичний простір многовиду M в точці p.

Позначмо  векторний простір знакозмінних, лінійних за всіма елементами відображень виду:

Тоді диференціальна k-форма — це відображення:

в довільній точці pM, при чому

де  — довільні гладкі векторні поля.

Іноді у визначенні диференціальних форм не вимагається гладкості. Форми, що задовольняють ці додаткові умови, називають тоді гладкими диференціальними формами.

Через локальні карти

Якщо  — локальна система координат в області , то форми утворюють базис у кодотичному просторі . Тому будь-яка зовнішня k-форма записується в U у вигляді

де  — гладкі функції  диференціал -ї координати (функція від вектора, що визначає його координату з номером  ), а  зовнішній добуток. При зміні координат, це подання змінюється.

На гладкому многовиді, k-форми може бути визначено як форми на картах, які узгоджено на склеюваннях.

Пов'язані визначення

Зовнішня похідна

Лінійне відображення називається зовнішньою похідною якщо:

  1. Для воно збігається зі звичайним диференціалом функції;
  2. Для будь-якої форми виконується рівність .

Для довільного гладкого многовиду відображення з даними властивостями існує і є єдиним. У локальних координатах зовнішній диференціал форми можна записати за допомогою формули:

  • Диференціальна форма називається замкненою, якщо її зовнішня похідна дорівнює 0.
  • k-форма називається точною, якщо її можливо представити як диференціал деякої (k-1)-форми.
  • Факторгрупа замкнених k-форм по точних k-формах називається -мірною групою когомологій де Рама. Теорема де Рама стверджує, що вона ізоморфна k-мірній групі сингулярних когомологій.
  • Внутрішньою похідною форми по векторному полю називається форма

Властивості

  • Для диференціалів диференціальних форм векторного поля справедливо:
  • Диференціальну форму можна розглядати як поле полілінійних кососиметричних функцій від векторів.
  • Внутрішнє диференціювання є лінійним і задовольняє градуйованому правилу Лейбніца. Воно пов'язане із зовнішнім диференціюванням і похідною Лі формулою гомотопії:

Алгебраїчні операції

Диференціальні форми порядку , задані у диференціальному многовиді , утворюють модуль над кільцем . Зокрема для диференціальних форм порядку визначено додавання і множення на функцію :

 ;
.
Зовнішній добуток

Зовнішній добуток форм і порядків і визначається за допомогою наступної формули :

,

де позначає знак перестановки і сума береться по всіх перестановках чисел . Результатом добутку є диференціальна форма порядку .

З визначеними алгебраїчними операціями множина , є градуйованою алгеброю, що задовольняє градуйованому закону комутативності: для форм і порядків і , Виконується

.

Зворотний образ

Якщо відображення є гладким,  — диференціальна форма порядку на многовиді , тоді можна визначити диференціальну форму порядку визначену на :

.

Дане відображення задовольняє рівностям:

де  — диференціальні форми на N, а g — функція визначена на N.

Отже, відображення визначає гомоморфізм градуйованих алгебр.

Дане відображення також можна записати у локальних координатах. Нехай x1, …, xm — координати на M, that y1, …, yn — координати на N, і ці координати пов'язані рівностями yi = fi(x1, …, xm) для всіх i. Тоді, локально на N, ω можна записати як

де для довільного вибору i1, …, ik,  — дійсна функція змінних y1, …, yn. З властивостей зворотного образу одержується формула для f*ω :

Кожну зовнішню похідну dfi може бути записано в термінах dx1, …, dxm. Відповідну k-форму може бути записано за допомогою матриці Якобі:

Інтегрування

Нехай

диференціальна форма і S диференційовний многовид параметризований в деякій області :

. Тоді можна визначити інтеграл:

де

 визначник матриці Якобі.

Теорема Стокса

Теорема Стокса є основою для більшості застосувань диференціальних форм:

Якщо  n−1-форма з компактним носієм у M і ∂M границя многовиду M з індукованою орієнтацією, то виконується рівність:

Частковими випадками цієї загальної теореми є основна теорема аналізу, теорема Гауса — Остроградського, теорема Гріна і звичайна теорема Стокса про зв'язок лінійного і поверхневого інтегралів.

Диференціальні форми в електромагнетизмі

Максвеллівська електродинаміка вельми елегантно формулюється мовою диференціальних форм в 4-вимірному просторі-часі. Розглянемо 2-форму Фарадея, що відповідає тензору електромагнітного поля:

Ця форма є формою кривини тривіального головного розшарування зі структурною групою U (1), за допомогою якого може бути описано класичну електродинаміку та калібрувальну теорію. 3-форма струму, дуальна до 4-вектору струму, має вигляд

У цих позначеннях рівняння Максвелла може бути дуже компактно записано як

,
,

де  — оператор зірки Годжа. Подібним чином може бути описано геометрію загальної калібрувальної теорії.

2-форма також називається 2-формою Максвелла.

Приклади

  • З погляду тензорного аналізу, 1-форма є не що інше як ковекторне поле, тобто 1 раз коваріантний тензор, заданий в кожній точці многовиду і що відображає елементи дотичного простору у множину дійсних чисел :
  • Форма об'єму — приклад -форми на -мірному многовиді.
  • Симплектична форма — замкнена 2-форма на -многовиді, така що .

Див. також

Джерела

  • Зорич В. А. Математический анализ. — 9-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 2. — 676 с. — ISBN 978-5-4439-1303-2.(рос.)
  • Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
  • Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
  • У. Рудин. Основы математического анализа — М.: Мир, 1976
  • Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир. 1968.
  • Flanders, Harley (1989), Differential forms with applications to the physical sciences, Mineola, NY: Dover Publications, ISBN 0-486-66169-5
  • Morita, Shigeyuki (2001), Geometry of Differential Forms, AMS, ISBN 0-8218-1045-6
  • Weintraub, Steven (1997), Differential forms : a complement to vector calculus,Academic Press, Inc. ISBN 0-12-742510-1
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.