Міра множини

Нехай задано простір ${\displaystyle X}$ з виділеним класом підмножин ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, замкненим щодо скінчених перетинів та об'єднань. Функція ${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {F}}\to [0,\infty ]} називається скінчено-адитивною мірою, якщо вона задовільняє наступним умовам:

1. ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$;
2. Якщо ${\displaystyle \{E_{n}\}_{n=1}^{N}\subset {\mathcal {F}}}$ — скінчене сімейство попарно неперетинних множин із ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, тобто ${\displaystyle E_{i}\cap E_{j}=\varnothing ,\;i\not =j}$, то

${\displaystyle \mu \left(\bigcup \limits _{n=1}^{N}E_{n}\right)=\sum \limits _{n=1}^{N}\mu (E_{n})}$.

Функція множини ${\displaystyle \mu (A)}$ називається мірою, якщо:

• область визначення ${\displaystyle \sigma _{\mu }}$ функції ${\displaystyle \mu (A)}$ є напівкільце множин.
• значення ${\displaystyle \mu (A)\geq 0}$
• ${\displaystyle \mu (A)}$ — адитивна, тобто, для довільного скінченого розкладу ${\displaystyle A=A_{1}\cup A_{2}\cup \dots \cup A_{n}}$, ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\varnothing }$

  буде виконуватись рівність

  ${\displaystyle \mu (A)=\sum _{k=1}^{n}\mu (A_{k})}$

Система множин ${\displaystyle \sigma }$ називається напівкільцем, якщо вона містить порожню множину, замкнена по відношенню до утворення перетинів, і якщо з приналежності до ${\displaystyle \sigma }$ множини ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle A_{1}\subset A}$ випливає можливість представлення множини ${\displaystyle A}$ у вигляді об'єднання ${\displaystyle A=\bigcup _{k=1}^{n}A_{k}}$, де ${\displaystyle A_{k}}$ — попарно неперетинаючі множини з ${\displaystyle \sigma }$, перша з яких є задана множина ${\displaystyle A_{1}}$.

Нехай задано простір ${\displaystyle X}$ з виділеною σ-алгеброю ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Функція ${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {F}}\to [0,\infty ]} називається злічено-адитивною (або σ-адитивною) мірою, якщо вона задовольняє наступним вимогам:

1. ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$;
2. (σ-адитивність) Якщо ${\displaystyle \{E_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}}$ — злічене сімейство множин, що попарно не перетинаються з ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, тобто ${\displaystyle E_{i}\cap E_{j}=\varnothing ,\;i\not =j}$, то

${\displaystyle \mu \left(\bigcup \limits _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})}$.

Міра ${\displaystyle \mu }$ називається продовженням міри ${\displaystyle m}$, якщо ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{m}\subset {\mathcal {F}}_{\mu }}$ і для кожної ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}_{m}}$ виконується рівність:

${\displaystyle \mu (A)=m(A)}$

При цьому, для кожної міри ${\displaystyle m(A)}$, заданої на деякому напівкільці ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{m}}$ існує єдине продовження ${\displaystyle m'(A)}$, що має як область визначення кільце ${\displaystyle {\mathcal {R}}({\mathcal {F}}_{m})}$ (тобто, мінімальне кільце над ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{m}}$).

• Довільна злічено-адитивна міра є скінчено-адитивною, але не навпаки.
• Якщо міра всього простору скінчена, тобто ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$, то така міра називається скінченою. В протилежному випадку міра нескінчена.
• На прямій та двовимірній площині існує нескінчена кількість продовжень міри Лебега з σ-алгебри, породжуваної відкритими підмножинами, на множину всіх множин, що зберігає скінчену адитивність міри. Для жодного з нетривіальних евклідових просторів не існує будь-якого злічено-адитивного розширення міри Лебега на можину всіх його підмножин.