Формула Борда-Карно

Раптове розширення потоку.

Формула Борда-Карно може бути застосована для розрахунку втрат енергії для потоку, що проходить через раптове розширення горизонтальної труби. У перетині 1 середня швидкість потоку дорівнює V₁, тиск становить p₁ і площа поперечного перерізу S₁. Відповідні величини для потоку у перетині 2 — після розширення становлять V₂, p₂ і S₂, відповідно. Коефіцієнт втрат ξ для цього раптового розширення дорівнює одиниці :ξ = 1,0. Виходячи із закону збереження маси, вважаючи сталою густину рідини ρ, об'ємна витрата через обидва перерізи повинна бути однаковою (умова нерозривності):

${\displaystyle S_{1}\,V_{1}\,=S_{2}\,V_{2}}$     звідки     ${\displaystyle V_{2}\,=\,{\frac {S_{1}}{S_{2}}}\,V_{1}.}$

Отже, згідно з формулою Борода-Карно, втрати механічної енергії в цьому раптовому розширенні:

${\displaystyle \Delta E\,=\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,\left(1\,-\,{\frac {S_{1}}{S_{2}}}\right)^{2}\,V_{1}^{2}.}$

Відповідні втрати напору ΔH будуть:

${\displaystyle \Delta H\,=\,{\frac {\Delta E}{\rho \,g}}\,=\,{\frac {1}{2\,g}}\,\left(1\,-\,{\frac {S_{1}}{S_{2}}}\right)^{2}\,V_{1}^{2}={\frac {\left(V_{1}-V_{2}\right)^{2}}{2g}}.}$

Для цього випадку ξ = 1, уся зміна кінетичної енергії між двома перерізами розсіюється у вигляді тепла. Останній вираз ще називають формулою Борда. Ж.Борда отримав її в 1776р. Згідно з нею, втрати напору при раптовому розширенні дорівнюють швидкісному напору, підрахованому за втраченою швидкістю, так як різницю ${\displaystyle (V_{1}-V_{2})}$ називають втраченою швидкістю.

На основі запису рівняння Бернуллі для двох перерізів можна отримати вираз для визначення зміни тиску між цими перерізами для горизонтальної труби:

${\displaystyle \Delta p\,=\,p_{1}\,-\,p_{2}\,=\,-\,\rho \,{\frac {S_{1}}{S_{2}}}\left(1\,-\,{\frac {S_{1}}{S_{2}}}\right)\,V_{1}^{2},}$

або у напорах:

${\displaystyle \Delta h\,=\,h_{1}\,-\,h_{2}\,=\,-\,{\frac {1}{g}}\,{\frac {S_{1}}{S_{2}}}\left(1\,-\,{\frac {S_{1}}{S_{2}}}\right)\,V_{1}^{2}.}$

Мінус перед правою частиною рівняння, означає, що тиск (напір) є більшим після розширення труби. Те, що ця зміна тиску (напору), безпосередньо до і після розширення труби разом з втратою енергії на розсіювання відповідає зменшенню кінетичної енергії між відповідними перерізами випливає із рівняння Бернуллі.

У потоці за раптовим звуженням у перерізі 3 спостерігається відрив потоку

У випадку раптового зменшення діаметра труби, потік не в змозі відтворити перехід до профілю вузької трубу. У результаті спостерігається зрив потоку, що приводить до появи завихрень біля входу у вузьку трубу. Основний потік спочатку звужується у перерізі 3, а потім знову розширюється, щоб покрити всю область труби у перерізі 2.

Між перетином 1 і перетином 3, у якому основний потік стискається найбільше втрати енергії незначні і ними нехтують. Але існують значні втрати в потоці, що розширюється від перерізу 3 до перерізу 2. Ці втрати напору можна виразити за допомогою формули Брода-Карно рівняння з врахуванням коефіцієнта стиснення потоку ε

${\displaystyle \epsilon \,=\,{\frac {S_{3}}{S_{2}}},}$

де S₃ — площа перерізу потоку у зоні найбільшого стиснення (переріз 3);

S₂ — площа перерізу труби меншого діаметра (переріз 2).

Оскільки S₃ ≤ S₂, коефіцієнт стиснення потоку ε ≤ 1 то на основі закону збереження маси при сталій густині (рідина нестискувана):

${\displaystyle S_{1}\,V_{1}\,=\,S_{2}\,V_{2}\,=\,S_{3}\,V_{3},}$

де V₁, V₂ and V₃ середні швидкості у відповідних перерізах потоку. Тоді згідно з формулою Борда-Карно (при коефіцієнті втрат ξ=1) втрат питомої енергії ΔEна одиницю об'єму рідини:

${\displaystyle \Delta E\,=\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,\left(V_{3}\,-\,V_{2}\right)^{2}\,=\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,\left({\frac {1}{\epsilon }}\,-\,1\right)^{2}\,V_{2}^{2}\,=\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,\left({\frac {1}{\epsilon }}\,-\,1\right)^{2}\,\left({\frac {S_{1}}{S_{2}}}\right)^{2}\,V_{1}^{2}.}$

Відповідні втрати напору ΔH можуть бути обчислені як ΔH = ΔE/(ρg).

Згідно з дослідженнями Ю. Вейсбаха (J. Weisbach), коефіцієнт стиснення для звуження з гострими краями становить приблизно:

${\displaystyle \epsilon \,=\,0.63\,+\,0.37\,\left({\frac {S_{2}}{S_{1}}}\right)^{3}.}$