Формула Валліса

Валліс вивів нескінченний добуток методом порівняння визначених інтегралів ${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{n}xdx}$ для парних і непарних n, як показано нижче. Оскільки на той час математичний аналіз, зокрема теорія збіжності, не мав достатнього розвитку і не було відомо про його зв'язок із площами фігур, дослідження вважалося складним і незавершеним. Як згодом виявилось, формула Валліса є простим наслідком формули Ейлера для синуса.

${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}$

Нехай x = π/2:

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4n^{2}}}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {\frac {\pi }{2}}&{}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)\\&{}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots \end{aligned}}}$

Нехай:

${\displaystyle I(n)=\int _{0}^{\pi }\sin ^{n}xdx}$

${\displaystyle u=\sin ^{n-1}x\Rightarrow du=(n-1)\sin ^{n-2}x\cos xdx}$

${\displaystyle dv=\sin xdx\Rightarrow v=-\cos x}$

${\displaystyle \Rightarrow I(n)=\int _{0}^{\pi }\sin ^{n}xdx=\int _{0}^{\pi }udv}$

${\displaystyle =uv|_{x=0}^{x=\pi }-\int _{0}^{\pi }vdu}$

${\displaystyle =0-(n-1)\int _{0}^{\pi }-\cos ^{2}x\sin ^{n-2}xdx,n>1}$

${\displaystyle =(n-1)\int _{0}^{\pi }(1-\sin ^{2}x)\sin ^{n-2}xdx}$

${\displaystyle =(n-1)I(n-2)-(n-1)I(n)}$

${\displaystyle I(n)=(n-1)I(n-2)-(n-1)I(n)}$

${\displaystyle \Rightarrow I(n)={\frac {n-1}{n}}I(n-2)}$

${\displaystyle I(1)=\int _{0}^{\pi }\sin xdx=-\cos x|_{0}^{\pi }=(-\cos \pi )-(-\cos 0)=-(-1)-(-1)=2}$

${\displaystyle I(0)=\int _{0}^{\pi }dx=x|_{0}^{\pi }=\pi }$

${\displaystyle I(2n+1)=\int _{0}^{\pi }\sin ^{2n+1}xdx={\frac {2n}{2n+1}}I(2n-1)={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}I(2n-3)}$

Повторюючи,

${\displaystyle ={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}\cdot {\frac {2n-4}{2n-3}}\cdot \cdots \cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {2}{3}}I(1)=2\prod _{k=1}^{n}{\frac {2k}{2k+1}}}$

${\displaystyle I(2n)=\int _{0}^{\pi }\sin ^{2n}xdx={\frac {2n-1}{2n}}I(2n-2)={\frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}I(2n-4)}$

Повторюючи,

${\displaystyle ={\frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}\cdot {\frac {2n-5}{2n-4}}\cdot \cdots \cdot {\frac {5}{6}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {1}{2}}I(0)=\pi \prod _{k=1}^{n}{\frac {2k-1}{2k}}}$

${\displaystyle \sin ^{2n+1}x\leq \sin ^{2n}x\leq \sin ^{2n-1}x,0\leq x\leq \pi }$

${\displaystyle \Rightarrow I(2n+1)\leq I(2n)\leq I(2n-1)}$

${\displaystyle \Rightarrow 1\leq {\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}\leq {\frac {I(2n-1)}{I(2n+1)}}={\frac {2n+1}{2n}}}$

За теоремою про три послідовності:

${\displaystyle \Rightarrow \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}=1}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}={\frac {\pi }{2}}\lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{k=1}^{n}\left({\frac {2k-1}{2k}}\cdot {\frac {2k+1}{2k}}\right)=1}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {\pi }{2}}=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k}{2k-1}}\cdot {\frac {2k}{2k+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot \cdots }$