Формула Клейна — Нісіни

Формула Клейна—Нісіни — формула, що описує повний переріз комптонівського розсіювання світла на електроні. Запропонована 1928-го року Оскаром Клейном і Йосіо Нісіною.

Залежність диференціального перетину розсіяння від кута розсіяння для різних значень енергій фотона

Розсіювання, у якого падаюча хвиля змінює свою частоту, називається комптонівським розсіюванням. Диференційний та повний переріз такого розсіювання розраховується в квантовій електродинаміці. Воно спостерігається при розсіюванні рентгенівських променів на електронних оболонках атомів та розсіюванні гамма-променів на атомних ядрах.

Зміна довжини хвилі ${\displaystyle \Delta \lambda }$ при комптонівському розсіюванні визначається формулою:

${\displaystyle \Delta \lambda =2\lambda _{0}\sin ^{2}(\theta /2),\lambda _{0}=h/m_{0}c,\lambda _{0}=2,426\cdot 10^{-12}}$ м,

де ${\displaystyle \lambda _{0}}$- комптонівська довжина хвилі електрона, ${\displaystyle \theta }$ — кут між напрямом падаючої та розсіяної хвиль, ${\displaystyle h}$— стала Планка, ${\displaystyle m_{0}}$— маса електрона, а ${\displaystyle c}$ — швидкість світла.

Частота випромінювання ${\displaystyle \omega _{2}}$ після розсіювання визначається формулою Комптона:

${\displaystyle \omega _{2}={\frac {\omega _{1}}{1+\epsilon (1-\cos \theta )}},}$

де ${\displaystyle \epsilon =\hbar \omega _{1}/m_{0}c^{2}}$, ${\displaystyle \hbar =h/2\pi }$, а ${\displaystyle \omega _{1}}$- частота падаючої хвилі. Повний переріз комптонівського розсіювання на вільному електроні:

${\displaystyle \sigma _{k}=2\pi r_{0}^{2}\left[{\frac {1+\epsilon }{\epsilon ^{2}}}\left({\frac {2+2\epsilon }{1+2\epsilon }}-{\frac {\ln(1+2\epsilon )}{\epsilon }}\right)+{\frac {\ln(1+2\epsilon )}{2\epsilon }}-{\frac {1+3\epsilon }{(1+2\epsilon )^{2}}}\right],\epsilon ={\frac {\hbar \omega }{m_{0}c^{2}}}}$[1]

Ця формула і називається формулою Клейна — Нісіни. Її отримали Оскар Клейн та Йошіо Нішіна 1928 року. Вона добре підтверджується експериментальними дослідженнями, якщо енергія ${\displaystyle \hbar \omega }$ падаючого фотона значно більша енергії електрона ${\displaystyle m_{0}c^{2},\hbar \omega \gg m_{0}c^{2}}$, тобто ${\displaystyle \lambda \ll \lambda _{0}}$, де ${\displaystyle \lambda _{0}}$— комптонівська довжина хвилі електрона.

Інтенсивність ${\displaystyle I_{2}}$ розсіяного випромінювання на віддалі ${\displaystyle R}$ від центру розсіювання зв'язана з інтенсивністю ${\displaystyle I_{1}}$ падаючої хвилі та відношенням частот ${\displaystyle \omega _{2}/\omega _{1}}$ співвідношенням:

${\displaystyle I_{2}={\frac {I_{1}}{R^{2}}}{\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}{\frac {d\sigma }{d\Omega }}}$

де ${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}}$ — диференційний переріз розсіювання.