Довжина хвилі

Синусоїдні стоячі хвилі в коробці, що обмежує крайні точки хвилі, які в результаті стають вузлами, що є цілими частинами половини довжини хвиль, які збігаються з коробкою.

Стояча хвиля (чорним кольором) показана як сума двох хвиль, що поширюються у протилежних напрямках (червоним і синім кольорами)

Стояча хвиля це хвилеподібний рух, який залишається на одному місці. Синусоїдальна стояча хвиля має стаціонарні точки, де рух не відбувається, які називаються вузлами, а довжина хвилі вдвічі більша за відстань між вузлами.

На верхньому малюнку показано три стоячі хвилі у коробці. Стінки коробки зроблені так, що хвиля повинна мати вузли на стінках цієї коробки (приклад крайових умов), це визначає які довжини хвиль потрібні. Наприклад, для електромагнітної хвилі, якщо коробка має ідеальні металеві стінки, умови для появи вузлів на стінках виникають тому що металеві стінки не можуть підтримувати тангенціальне електричне поле, що приводить до того, що хвиля має нульову амплітуду на стінках.

Стаціонарну хвилю можна розглядати як суму двох синусоїдних хвиль, що поширюються із протилежно направленими швидкостями.[3] Таким чином, довжина хвилі, період і швидкість хвилі пов'язані так само як і для біжучої хвилі. Наприклад, швидкість світла можна визначити за допомогою спостереження за стоячими хвилями в металевій коробці в якій знаходиться ідеальний вакуум.

Рухомі синусоїдні хвилі часто задають математично через їх швидкість v (в напрямі осі x), частоту f і довжину хвилі λ наступним чином:

${\displaystyle y(x,\ t)=A\cos \left(2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-ft\right)\right)=A\cos \left({\frac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)\right)}$

де y це значення хвилі в будь-якій точці позиції x, при часі t, і A задає амплітуду хвилі. Також, їх часто задають в термінах хвильового числа k (кількість довжин хвилі, що поміщаються в 2π одиниць довжини) і кутової частоти ω (2π помножене на частоту) як:

${\displaystyle y(x,\ t)=A\cos \left(kx-\omega t\right)=A\cos \left(k(x-vt)\right)}$

де довжина хвилі і хвильове число пов'язані до швидкості і частоти наступним чином:

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi f}{v}}={\frac {\omega }{v}},}$

або

${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}={\frac {2\pi v}{\omega }}={\frac {v}{f}}.}$

У другому виразі рівняння, що наведене вище, фаза (kx − ωt) часто узагальнена до виразу (k•r − ωt), що замінює хвильове число k на хвильовий вектор, який задає напрям та хвильове число для плоскої хвилі у тривимірному просторі, параметризоване за допомогою вектора позиції r. В такому випадку, хвильове число k, магнітуда k, досі залишаються у тому самому співвідношенні із довжиною хвилі як було показаному вище, де v інтерпретують як скалярну швидкість, напрям якої задає хвильовий вектор. Перша форма в якій використовується відповідна довжина хвилі в фазі, не так легко узагальнюється до задавання хвилі в довільному напрямку.

Також використовують узагальнення до синусоїд з іншими фазами, а також до комплексних експонент; див плоска хвиля. Загальноприйняте використання косинусної фази замість синусної фази при описанні хвилі основане на тому, що косинус є дійсною частиною комплексної експоненти для хвилі

${\displaystyle Ae^{i\left(kx-\omega t\right)}.}$

Довжина хвилі зменшується у середовищі із більш повільним поширенням хвиль.

Заломлення: при входженні в середовище, де швидкість хвилі менша, хвиля змінює напрям руху.

Розділення кольорів світла призмою (натисніть для анімації)

Швидкість хвилі залежить від середовища в якому вона поширюється. Зокрема, швидкість світла в середовищі є меншою ніж у вакуумі, це означає, що та сама частота буде відповідати меншій довжині хвилі у середовищі, ніж у вакуумі, як показано на малюнку праворуч.

Ця зміна швидкості при входженні в середовище призводить до заломлення, тобто до зміни напрямку руху хвиль, які зустрічають перехід між середовищами під кутом.[4] Для електромагнітних хвиль, ця зміна кута поширення описується законом Снеліуса.

Не тільки швидкість хвилі в одному середовищі, може відрізнятися від швидкості в іншому середовищі, а швидкість як правило змінюється із довжиною хвилі. В результаті, зміна напряму при вході в інше середовище відбувається зі зміною довжини хвилі.

Для електромагнітних хвиль швидкість поширення у середовищі визначається його показником заломлення відповідно до

${\displaystyle v={\frac {c}{n(\lambda _{0})}},}$

де c це швидкість світла у вакуумі, а n(λ₀) це показник заломлення середовища для довжини хвилі λ₀, де остання вимірюється у вакуумі, а не в середовищі. Відповідна довжина хвилі у середовищі становить

${\displaystyle \lambda ={\frac {\lambda _{0}}{n(\lambda _{0})}}.}$

Якщо вказують довжини хвиль електромагнітного випромінення, як правило вказують значення довжини хвилі у вакуумі, якщо явно не визначено, що це довжина хвилі у певному середовищі. В акустиці, де середовище є необхідним для існування хвиль, довжина хвилі вказується для відповідного зазначеного середовища.

Зміна швидкості світла із довжиною хвилі називається дисперсією, це явище також можна спостерігати при проходженні світла через призму, коли світло розділяється на складові кольори. Розділення на кольори відбувається коли показник заломлення в середині призми змінюється для різної довжини хвилі, тож хвилі із різною довжиною в середині призми поширюються із різною швидкістю, що змушує їх заломлюватися під різними кутами. Математичний закон, який описує як швидкість світла в середовищі змінюється із його довжиною хвилі відомий як закон дисперсії.

Різна локальна довжина хвилі (від гребня до гребня) океанських хвиль, що наближуються до берега[5]

Довжина хвилі може бути корисним поняттям, навіть якщо хвиля не періодична у просторі. Наприклад, океанські хвилі, які наближуються до берега, показані на малюнку, мають різну локальну довжину хвилі, яка частково залежить від глибини морського дна у співвідношенні до висоти хвилі. Аналіз цих хвиль може засновуватися на порівнянні локальної довжини хвилі із локальною глибиною води.[5]

Синусоїдна хвиля яка рухається у неоднорідному просторі, з втратами

Хвилі, синусоїдні у часі, але поширювані через середовище, властивості якого змінюються із положенням у ньому (неоднорідне середовище), можуть поширюватися зі швидкістю, яка також буде змінюватися із положенням, і таким чином не будуть синусоїдними у просторі. Приклад показано на малюнку праворуч. З тим як хвиля сповільнюється, довжина хвилі стає меншою, а амплітуда зростає; після проходження місця максимального відгуку, короткі хвилі викликають високі втрати і зрештою хвиля згасає.

Аналіз диференційних рівнянь, що описують такі системи часто проводять наближеними методами, такими як метод наближення ВКБ (що також відомий як метод Ліувілля–Гріна). Метод інтегрує фазу у просторі рішення, що є функцією часу і простору, використовуючи локальне хвильове число, яке можна розуміти як відповідник «локальної довжини хвилі».[6][7] Цей метод розглядає систему локально, так ніби вона є однорідною із деякими локальними властивостями; зокрема, локальна швидкість хвилі пов'язана із частотою є єдиною необхідною інформацією для оцінки відповідного хвильового числа або довжини хвилі. Крим того, метод обчислює повільну зміну амплітуди аби узгодити інші обмеження рівнянь фізичної системи, такі як для визначення збереження енергії у хвилі.

Хвилю у рядку атомів, можна інтерпретувати як множину різних довжин хвиль.

Хвилі в кристалічних твердих тілах не є неперервними, оскільки вони утворені вібрацією дискретних частинок, що організовані у регулярні решітки. Це створює аліасинг, оскільки одна і та однакову вібрацію, можна розглядати як таку, що має різні довжини хвиль, як показано на малюнку.[8] Описувати це використовуючи більше ніж одну із цих частот було б надмірним; як правило обирають найдовшу довжину хвилі що відповідає цьому явищу. Діапазон довжин хвиль, якого достатньо аби надати опис усіх можливих хвиль в кристалічному середовищі відповідає векторам хвилі, що прив'язані до зони Бріллюена.[9]

Ця невизначеність довжини хвилі у твердих тілах є важливою для аналізу хвильових явищ, таких як енергетичні смуги та коливання решітки. Математично це еквівалентне аліасингу сигналу, який представлено у дискретних інтервалах.

Хвильовий пакет, що поширюється у просторі

Локалізовані хвильові пакети, «сплески» хвиль, коли кожний пакет хвиль рухається як одне ціле, знайшли застосування у багатьох областях фізики. Хвильовий пакет має огинаючу, що описує загальну амплітуду хвилі; між огинаючою, відстань між сусідніми піками іноді називають локальною довжиною хвилі.[16][17] Приклад показаний на малюнку. В загальному випадку, контур хвильового пакету рухається із відмінною швидкістю ніж складові хвилі.[18]

Якщо використати Аналіз Фур'є, хвильові пакети можна аналізувати у вигляді нескінченної суми (або інтегралу) синусоїдних хвиль із різним хвильовим числом або довжиною хвилі.[19]

Луї де Бройль стверджував, що всі частинки із певним значенням імпульсу p мають довжину хвилі λ = h/p, де h це Стала Планка. Ця гіпотеза лягла в основу квантової механіки. У сучасний час, ці хвилі називаються хвилями де Бройля. Наприклад, електрони у дисплеях із електронно-променевою трубкою мають довжину хвилі де Бройля, що приблизно дорівнює 10⁻¹³ м. Аби уникнути того, що хвильова функція, що описує таку частинку буде поширюватися по всьому простору, Бройль запропонував використовувати хвильові пакети, аби представити частинку, яка локалізована у просторі.[20] Поширення хвильового пакета у просторі, і розподіл хвильових чисел синусоїд, що утворюють пакет, відповідатиме невизначеності позиції частинки і імпульсу, добуток яких обмежено принципом невизначеності.[19]

Візерунок інтенсивності світла на екрані коли світло проходить через дві щілини. Написи праворуч вказують різницю довжини шляху, який здолало світло від двох щілин, які представлені тут як ідеальні точкові джерела.

Коли хвилі синусоїдної форми складаються між собою, вони можуть посилити одна одну (конструктивна інтерференція) або погасити одна одну (деструктивна інтерференція) в залежності від їх взаємного співвідношення фаз. Це явище можна дослідити за допомогою інтерферометра. Це простий експеримент який здійснив Томас Юнг, в якому світло проходить через дві щілини.[21] Як показано на малюнку, світло проходить крізь щілини і відбиває світло на екрані. Шлях, який проходить світло до певної точки на екрані буде різним для кожної із щілин, і залежить від значення кута θ, який траєкторії цих шляхів утворюють з екраном. Якщо ми розмістили екран досить далеко від щілин (так що, s є великою відстанню відносно відстані d, на яку рознесені щілини), тоді ці шляхи будуть приблизно паралельними, і різниця шляхів буде просто дорівнювати d sin θ. Відповідно, умова для конструктивної інтерференції буде наступною:[22]

${\displaystyle d\sin \theta =m\lambda \ ,}$

де m це ціле число, а умова для деструктивної інтерференції буде наступна:

${\displaystyle d\sin \theta =(m+1/2)\lambda \ .}$

Таким чином, якщо відома довжина хвилі даного світла, рознесення щілин можна визначити із утвореного візерунка або смужок, і навпаки.

Для декількох щілин, візерунок буде наступним[23]

${\displaystyle I_{q}=I_{1}\sin ^{2}\left({\frac {q\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\sin ^{2}\left({\frac {\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)\ ,}$

де q задає кількість щілин, а g — стала дифракційної ґратки. Перший фактор, I₁, є результатом для однієї щілини.

Візерунок дифракції для двох щілин, має обвідну як у випадку з однією щілиною.

Поняття різниці шляхів і конструктивної та деструктивної інтерференції описані вище для умови з двома щілинами застосовується також і для дослідження світла, що проходить крізь одну щілину і відбиває слід на екрані. Основним результатом цієї інтерференції є розподілення світла через вузьку щілину у більш широке зображення на екрані. Це розсіяне розподілення енергії хвилі називають дифракцією.

В залежності від відстані між джерелом та екраном, розрізняють два типи дифракції: Дифракцію Фраунгофера або дифракція із далеким полем при великому віднесенні і Дифракцію Френеля або дифракцію близького поля і близькому віднесенні.

При аналізі дифракції із однією щілиною враховують не нульову ширину щілини, а кожну точку апертури приймають за джерело, що має єдиний вплив на пучок світла (вейвлети Гюйгенса). На екрані, світло, що проходить шлях від кожної точки в щілині має різну довжину шляху, хоча й дуже невелику різницю. Отже, як наслідок, виникає інтерференція.

У дифракційному візерунку Фраунгофера, досить далеко віднесеного від щілини, застосовуючи малокутове наближення, розподілення інтенсивності S співвідноситься із позицією x через квадрат функції sinc:[24]

${\displaystyle S(u)=\mathrm {sinc} ^{2}(u)=\left({\frac {\sin \pi u}{\pi u}}\right)^{2}\$ ;}  де  ${\displaystyle u={\frac {xL}{\lambda R}}\ ,}$

де L це ширина щілини, R це відстань від отриманого візерунка (на екрані) до щілини, а λ довжина хвилі застосованого світла. Функція S має нулі, там де u це не нульове ціле число, і при тих значеннях x, із довжиною хвилі в пропорції із відстанню віднесення.

Дифракція є основним обмеженням роздільної здатності оптичних інструментів, таких як телескопи (в тому числі радіотелескопів) та мікроскопи.[25] Для кругової апертури, точка зображення обмежена дифракцією відома як диск Ейрі; відстань x в формулі дифракції з однією щілиною заміняються радіальною відстанню r, а синус заміняється на 2J₁, де J₁ — функція Бесселя першого порядку.[26]

Просторовий розмір об'єкті, які можливо розрізнити при спостереженні за допомогою мікроскопа обмежений критерієм Релея, тобто співвідношенням радіуса першого затемнення диску Ейрі, до розміру пропорційному довжині хвилі світла, яке використовується і залежить від числової апертури:[27]

${\displaystyle r_{Airy}=1.22{\frac {\lambda }{2\mathrm {NA} }}\ ,}$

де числова апертура визначена як ${\displaystyle \mathrm {NA} =n\sin \theta \;}$ для кута θ, який є половиною кута конуса променів, що приймаються об'єктивом мікроскопа.

Кутовий розмір центральної яскравої ділянки (радіус до першого затемнення диску Ейрі) зображення, що піддалася дії дифракції кругової апертури, є мірою, яку як правило використовують для телескопів та камер, і дорівнює:[28]

${\displaystyle \delta =1.22{\frac {\lambda }{D}}\ ,}$

де λ це довжина хвилі для тих хвиль які необхідно зобразити, D це діаметр вхідної зіниці системи зображення, що вказується в тих самих одиницях, і кутова роздільна здатність δ в радіанах.

Як і інші дифракційні візерунки, цей візерунок масштабується в залежності від довжини хвилі, тож менша довжина хвилі дозволяє мати вищу роздільну здатність.