Функція Мертенса

${\displaystyle M(n)=\sum _{1\leq k\leq n}\mu (k)}$

В теорії чисел функція Мертенса визначається:

де μ(k) - функція Мебіуса.

Для довільного натурального числа k виконується ${\displaystyle \mu (k)\leq 1}$, тому ${\displaystyle M(n)\leq n}$. Значення функції Мертенса для перших натуральних чисел дорівнюють:

1, 0, -1, -1, -2, -1, -2, -2, -2, -1, -2, -2, -3, -2, -1, -1, -2, -2, ... послідовність A002321 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Загалом функція Мертенса зростає у додатному і від'ємному напрямках здійснюючи хаотичні коливання і набуваючи значення нуль для чисел:

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, ... послідовність A028442 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Дане визначення можна поширити на довільні дійсні числа:

${\displaystyle M(x)=\sum _{1\leq k\leq x}\mu (k).}$

Функція названа на честь німецького математика Франца Мертенса, що припустив виконання нерівності:

${\displaystyle \left|M(n)\right|<{\sqrt {n}}}$

З виконання гіпотези Мертенса випливала б гіпотеза Рімана. Дане припущення було спростоване в 1985 Андрієм Одлижко та Германом те Ріілем; контрприклад в наш час^[коли?] невідомий, проте відомо існування його в межах 10¹⁴ — 3,21×10⁶⁴.

Гіпотеза Рімана є еквівалентною дещо слабшому твердженню про поведінку функції Мертенса: M(n) = O(n^{1/2 + ε}).

Для функції Мертенса виконується формула:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}\,ds=M(x)}$

де C — замкнута крива, що оточує всі корені ζ(s) — дзета-функції Рімана.

Навпаки виконується рівність

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(x)}{x^{s+1}}}\,dx}$

що є справедливою для ${\displaystyle Re(s)>1}$.