Дзета-функція Рімана

• Існують явні формули для значень дзета-функції у парних цілих точках:

${\displaystyle 2\zeta (2m)=(-1)^{m+1}{\frac {(2\pi )^{2m}}{(2m)!}}B_{2m}}$,

де ${\displaystyle B_{2m}}$ — число Бернуллі. Зокрема,

${\displaystyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$,

${\displaystyle \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}}$.

Про значення дзета-функції у непарних цілих точках відомо мало: передбачається, що вони є ірраціональними і навіть трансцендентними, але поки доведена лише ірраціональність числа ${\displaystyle \zeta (3)}$ (Роже Апері, 1978). Є також результати, що показують, що серед деякої безлічі значень дзета-функції у наступних непарних точках є хоча б одне ірраціональне.

• При ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$

• ${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

де ${\displaystyle \mu (n)}$ — функція Мебіуса

• ${\displaystyle \zeta ^{2}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{s}}}}$

де ${\displaystyle \tau (n)}$ — число дільників числа ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle {\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\nu (n)}}{n^{s}}}}$

де ${\displaystyle \nu (n)}$ — число простих дільників числа ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle \zeta (s)}$ допускає аналітичне продовження на всю комплексну ${\displaystyle s}$-площину і є регулярною функцією для всіх значень ${\displaystyle s}$, крім ${\displaystyle s=1}$, де вона має простий полюс із лишком, рівним 1.
  • Аналітичне продовжена дзета-функція при ${\displaystyle s\neq 0,s\neq 1}$ задовольняє рівняння:

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin {\pi s \over 2}\Gamma (1-s)\zeta (1-s)}$,

де ${\displaystyle \Gamma (z)}$ — Гамма-функція Ейлера. Це рівняння називається функціональним рівнянням Рімана.

• Для функції

${\displaystyle \xi (s)=\pi ^{-s/2}\Gamma ({\frac {s}{2}})\zeta (s)}$

введеною Ріманом для дослідження ${\displaystyle \zeta (s)}$ і званою ксі-функцією Рімана, це рівняння набуває вигляду

${\displaystyle \xi (s)=\xi (1-s)}$

Існує досить велика кількість спеціальних функцій, пов'язаних з дзета-функцією Рімана, які об'єднуються загальною назвою дзета-функції і є її узагальненнями. Наприклад:

• Дзета-функція Гурвіца:

  ${\displaystyle \zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+q)^{-s},}$

яка збігається з дзета-функцією Рімана при q = 1 (оскільки сумування ведеться від 0, а не від 1).

• Полілогарифм:

  ${\displaystyle \mathrm {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}},}$

який збігається з дзета-функцією Рімана при z = 1.

• Дзета-функція Лерха:

  ${\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}},}$

яка збігається з дзета-функцією Рімана при z = 1 і q = 1 (оскільки сумування ведеться від 0, а не від 1).

Як функція дійсної змінної, дзета-функція була введена у 1737 році Ейлером, який і вказав її розклад у добуток.

Потім ця функція розглядалася Діріхле і, особливо успішно, Чебишо́вим при вивченні закону розподілу простих чисел.

Проте найбільш глибокі властивості дзета-функції були виявлені пізніше, після роботи Рімана (1876), де дзета-функція розглянута як функція комплексної змінної.

Зв'язок між дзета-функцією і простими числами відкрив Ейлер, який довів таку тотожність:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}},}$

де лівий бік - це ζ(s), а нескінченний добуток праворуч містить усі прості числа:

${\displaystyle \prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-11^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p^{-s}}}\cdots }$

Обидва боки формули Ейлера збігаються якщо Re(s) > 1. Доведення тотожності Ейлера використовує лише геометричні ряди і основну теорему арифметики. З того, що гармонічний ряд при s = 1 розбіжний, випливає, що формула Ейлера (яка набуває виду ${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\ldots ={\frac {2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot \ldots }{1\cdot 2\cdot 4\cdot 6\cdot 10\cdot \ldots }}}$) тягне за собою існування нескінченної кількості простих чисел.[1]

Формулу добутку Ейлера можна використати, щоб обчислити асимптотичну ймовірність того, що s випадково вибраних цілих чисел помножинно взаємно прості. Інтуїтивно, ймовірність того, що будь-яке окремо взяте число ділиться на просте (або будь-яке ціле число), p становить 1p. Отже, ймовірність, що кожне з s чисел ділиться на це число становить 1p^s, а ймовірність, що хоча б одне ні становить 1 − 1p^s. Тепер, для різних простих чисел, ці події подільності взаємно незалежні, бо кандидати на дільники взаємно прості (число ділиться на взаємно прості дільники n і m тоді і тільки тоді, коли число ділиться на nm, подія, що відбувається з ймовірністю 1nm). Отже, асимптотична ймовірність того, що s чисел взаємно прості задається через добуток що включає всі прості,

${\displaystyle \prod _{p{\text{ prime}}}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\left(\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\right)^{-1}={\frac {1}{\zeta (s)}}.}$

(Щоб довести цей результат формально потрібно більше роботи).[2]

• Дзета-функції
• Дзета-функція Гурвіца
• Список об'єктів, названих на честь Бернгарда Рімана

• Дзета-функція Рімана (from MathWorld)