Функції Лежандра

Функції Лежандра визначаються для будь-яких комплексних параметрів та аргументів через гіпергеометричні фукнції

${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {1+z}{1-z}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu$ ;{\frac {1-z}{2}}),\qquad {\text{for }}\ |1-z|<2}

де ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функція, а ${\displaystyle _{2}F_{1}}$ — гіпергеометрична функція.

${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {e^{i\mu \pi }(z^{2}-1)^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right),}$ для ${\displaystyle |z|>1.}$.

Вони є розв'язками рівняння

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''-2xy'+\left[\lambda (\lambda +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-x^{2}}}\right]\,y=0,\,}$

• Приєднані поліноми Лежандра
• Список об'єктів, названих на честь Адрієна-Марі Лежандра

• Snow, Chester (1952) [1942]. Hypergeometric and Legendre functions with applications to integral equations of potential theory. National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, No. 19. Washington, D.C.: U. S. Government Printing Office. MR 0048145.
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1963). A Course in Modern Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58807-2.