Хвильове рівняння

Хвильове́ рівня́ння рівняння, яке описує розповсюдження хвиль у просторі.

Хвильове рівняння є зазвичай рівнянням другого порядку у часткових похідних гіперболічного типу, хоча існують хвильові рівняння інших порядків та інших типів.

У одновимірному випадку хвильове рівняння записується так:

де u — невідома функція, яка описує хвилю, x — просторова координата, t — час, s — фазова швидкість поширення хвилі.

Розв'язки

Хвильові рівняння мають багато можливих розв'язків. Реалізація того чи іншого із них залежить від граничних та початкових умов: від того, як хвиля народилася, які перешкоди зустрічає на своєму шляху тощо.

Загальний розв'язок хвильового рівняння подається суперпозицією функцій типу

де  амплітуда хвилі, k хвильове число, ω циклічна частота,  — фаза хвилі.

Хвильове число та частота зв'язані між собою дисперсійним співвідношенням

Інші типи хвильових рівнянь

Вільна частка описується у квантовій механіці рівнянням Шредінгера. Це рівняння параболічного типу, проте комплексне.

Дисперсійне співвідношення у ньому зв'язує енергію частки із її хвильовим вектором.

У релятивістській квантовій механіці використовуються рівняння Дірака, рівняння Клейна-Гордона тощо. Ці рівняння теж описують поширення хвиль, тож належать до групи хвильових рівнянь.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.