Рівняння

Рівняння

${\displaystyle {\sqrt {2x^{2}-1}}=x,\,}$

при піднесенні обох частин до квадрату дає рівняння

${\displaystyle 2x^{2}-1=x^{2},\,}$ або ${\displaystyle x^{2}=1.\,}$

Обидва рівняння є наслідками початкового. Останнє з них легко розв'язати. Воно має два корені

${\displaystyle x=1}$ та ${\displaystyle x=-1}$.

При підставлянні першого кореня в початкове рівняння утворюється тотожність

${\displaystyle {\sqrt {1}}=1.\,}$

При підставлянні другого кореня утворюється хибне твердження:

${\displaystyle {\sqrt {1}}=-1.\,}$.

Отже, другий корінь потрібно відкинути, як сторонній.

Окремі класи рівнянь мають аналітичні розв'язки, які зручні тим, що не лише дають точне значення кореня, а й дозволяють записати розв'язок у вигляді формули, до якої можуть входити параметри. Такі аналітичні вирази дають змогу не лише обчислити корені, а й провести аналіз їх існування та їхньої кількості залежно від значень параметрів, що часто буває навіть важливішим для практичного застосування, ніж конкретні значення коренів.

До рівнянь, для яких відомі аналітичні розв'язки, належать алгебраїчні рівняння не вище четвертого степеня: лінійне рівняння, квадратне рівняння, кубічне рівняння та рівняння четвертого степеня. Алгебраїчні рівняння вищих степенів у загальному випадку аналітичного розв'язку не мають, хоча деякі з них можливо звести до рівнянь нижчих степенів.

Рівняння, до яких входять трансцендентні функції, називають трансцендентними. Серед них аналітичні розв'язки відомі для деяких тригонометричних рівнянь, оскільки нулі тригонометричних функцій добре відомі.

У загальному випадку, коли аналітичного розв'язку знайти не вдається, застосовують чисельні методи. Чисельні методи не дають точного розв'язку, а тільки дозволяють звузити інтервал, в якому лежить корінь, до певного наперед заданого значення.

Алгебраїчним рівнянням називають рівняння вигляду

${\displaystyle P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,}$

де ${\displaystyle P}$ — многочлен від однієї або декількох змінних ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, які є невідомими.

Впорядкований набір чисел a₁, …, a_n задовольняє цьому рівнянню, якщо при заміні x₁ на a₁, x₂ на a₂ і так далі отримується правильна числова рівність (наприклад, впорядкована трійка чисел (3, 4, 5) задовольняє рівнянню х² + у² = z², оскільки 3² +4² = 5²). Число, що задовольняє алгебраїчне рівняння з одним невідомим, називають коренем цього рівняння. Множина всіх наборів чисел, що задовольняють дане рівняння, є множиною розв'язків цього рівняння.

Степенем многочлена Р називають степінь рівняння Р(х₁, … , х_n) = 0. Наприклад, 3х — 5у + z = с — рівняння першого степеня, х² + у² = z² — другого степеня, а х⁴ — Зх³ + 1 = 0 — четвертого степеня. Рівняння першого степеня називають також лінійними.

Рівняння вищого степеня називають нелінійними. Алгебраїчне рівняння з одним невідомим має скінченну кількість коренів, а множина розв'язків алгебраїчного рівняння з великою кількістю невідомих може бути нескінченною множиною наборів чисел. Тому здебільшого розглядають не окремі алгебраїчні рівняння з n невідомими, а системи рівнянь і шукають набори чисел, які одночасно задовольняють всі рівняння цієї системи. Сукупність всіх таких наборів утворює множину розв'язків системи.

Лінійне рівняння — рівняння, обидві частини якого визначаються лінійними функціями. Може бути записане:

• у загальній формі: ${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}+b=0}$
• в канонічній формі: ${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}=b}$

Графіки квадратичної функції (парабола)

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}$

де ${\displaystyle x}$ — вільна змінна, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ — коефіцієнти, причому ${\displaystyle \quad a\neq 0.}$

Вираз ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ називають квадратним тричленом. Корінь такого рівняння (корінь квадратного тричлена) — це значення змінної ${\displaystyle x}$, яке перетворює квадратний тричлен на нуль, тобто це значення, що перетворює квадратне рівняння на тотожність. Коефіцієнти квадратного рівняння мають власні назви: коефіцієнт ${\displaystyle a}$ називають першим або старшим, коефіцієнт ${\displaystyle b}$ називають другим або коефіцієнтом біля ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle c}$ називають вільним членом цього рівняння. Приведеним називають квадратне рівняння, у якому старший коефіцієнт дорівнює одиниці. Таке рівняння можливо отримати після ділення усього виразу на старший коефіцієнт ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle x^{2}+px+q=0,\quad p={\frac {b}{a}},\quad q={\frac {c}{a}}.}$ Повним квадратним рівнянням називають таке, у якого всі коефіцієнти є відмінними від нуля. Неповним квадратним рівнянням називають таке, у якому хоча б один з коефіцієнтів крім старшого (або другий коефіцієнт, або вільний член) дорівнює нулю.

Для графічного аналізу квадратного рівняння в декартовій системі координат використовують параболу — графік квадратичної функції, що лежить в основі рівняння.

Для знаходження коренів квадратного рівняння ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ у загальному випадку використовують такий алгоритм:

Обчислити значення дискримінанту квадратного рівняння за виразом ${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$.

1) якщо ${\displaystyle D>0}$	2) якщо ${\displaystyle D=0}$	3) якщо ${\displaystyle D<0}$
коренів два, для знаходження використовують формулу: ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}(1)}$ ,	корінь один (або кажуть про два однакових корені), формула якого — ${\displaystyle -{\frac {b}{2a}}}$	роблять висновок про те, що корені у множині дійсних чисел відсутні.

Графік кубічної функції (кубічна парабола)

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,\quad a\neq 0.}$

Для графічного аналізу кубічного рівняння в декартовій системі координат використовують кубічну параболу.

Довільне кубічне рівняння канонічного вигляду можливо привести до простішого вигляду

${\displaystyle y^{3}+py+q=0,\,}$

після ділення його на ${\displaystyle a}$ й підставляння до нього заміни ${\displaystyle x=y-{\tfrac {b}{3a}}.}$ При цьому коефіцієнти будуть дорівнювати:

${\displaystyle q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}},}$

${\displaystyle p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}.}$

Графік многочлена 4-го степеня з чотирма коренями й трьома критичними точками.

${\displaystyle f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0.}$

Четвертий степінь для алгебричних рівнянь є найвищим, за якого існує аналітичний розв'язок у радикалах у загальному вигляді (тобто, за довільного значення коефіцієнтів).

Оскільки ${\displaystyle f(x)}$ є многочленом четвертого степеня, вона має одну і ту ж границю при прямуванні до плюс і до мінус нескінченності. Якщо ${\displaystyle a>0}$, то функція зростає до плюс нескінченності з обох боків, а отже, функція має глобальний мінімум. Аналогічно, якщо ${\displaystyle a<0}$, то функція спадає до мінус нескінченності з обох боків, а отже, функція має глобальний максимум.

Системою лінійних алгебраїчних рівнянь називають систему рівнянь вигляду:

${\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\dots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\\\end{cases}}}$

Тут ${\displaystyle m}$ — кількість рівнянь, а ${\displaystyle n}$ — кількість невідомих. x₁, x₂, …, x_n — невідомі, які треба визначити. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коефіцієнти системи, та b₁, b₂, … b_m — вільні члени, — вважають відомими. Індекси коефіцієнтів (a_ij) системи означають номери рівняння (i) та невідомого (j), біля якого стоїть цей коефіцієнт, відповідно[1].

Систему називають однорідною, якщо усі її вільні члени дорівнюють нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), у протилежному випадку — неоднорідною. Систему називають квадратною, якщо число m рівнянь дорівнює числу n невідомих. Розв'язок системи — сукупність n чисел c₁, c₂, …, c_n таких, що підставлення кожного c_i замість x_i у систему перетворює усі її рівняння на тотожності. Систему називають сумісною, якщо вона має хоча б один розв'язок, і несумісною, якщо у неї немає жодного розв'язку. Розв'язки c₁⁽¹⁾, c₂⁽¹⁾, …, c_n⁽¹⁾ та c₁⁽²⁾, c₂⁽²⁾, …, c_n⁽²⁾ сумісної системи називають різними, якщо порушується хоча б одна з рівностей:

Сумісну систему називають визначеною, якщо вона має єдиний розв'язок, і невизначеною, якщо вона має безліч розв'язків. В останньому випадку кожен її розв'язок називають частковим розв'язком системи. Сукупність усіх часткових розв'язків називають загальним розв'язком системи.

Рівнянням з параметрами називають математичне рівняння, вигляд і розв'язок якого залежить від значень одного чи декількох параметрів. Розв'язати рівняння з параметром означає:

1. Знайти усі системи значень параметрів, за яких дане рівняння має розв'язок.
2. Знайти усі розв'язки для кожної знайденої системи значень параметрів, тобто для невідомого та параметра мають бути вказані свої області допустимих значень.

Рівняння з параметром можуть бути як лінійними, так і нелінійними.

Приклад лінійного рівняння з параметром:

${\displaystyle a\,x+1=4,}$

Приклад нелінійного рівняння з параметром:

${\displaystyle {\mbox{log}}_{x^{2}}{\frac {a+3}{7-x}}=5,}$

де ${\displaystyle x}$ — незалежна змінна, ${\displaystyle a}$ — параметр.

Трансцендентним рівнянням називають рівняння, що містить показникові, логарифмічні, тригонометричні, обернені тригонометричні функції, наприклад:

• ${\displaystyle \cos x=x}$
• ${\displaystyle \lg x=x-5}$
• ${\displaystyle 2^{x}=\lg x+x^{5}+40}$

Строгіше визначення: трансцендентне рівняння — це рівняння вигляду ${\displaystyle f(x)=g(x)}$, де функції ${\displaystyle f}$ та ${\displaystyle g}$ є аналітичними функціями й хоча б одна з них не є алгебраїчною.

Функціональним рівнянням називають рівняння, що виражає зв'язок між значенням функції (або функцій) в одній точці з її значеннями в інших точках. Багато які з властивостей функцій можливо визначити, досліджуючи функціональні рівняння, яким ці функції задовольняють. Термін «функціональне рівняння» зазвичай використовують для рівнянь, що не зводяться простими способами до алгебраїчних рівнянь. Цю особливість найчастіше зумовлено тим, що аргументами невідомої функції у рівняннях є не самі невідомі змінні, а деякі відомі функції від них. Наприклад:

• функціональному рівнянню

${\displaystyle f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s),}$

де ${\displaystyle \Gamma (z)}$ — Гамма-функція Ейлера, задовольняє дзета-функція Рімана ζ.

• наступним трьом рівнянням задовольняє Гамма-функція, яка є єдиним розв'язком цієї системи:

${\displaystyle f(x)={f(x+1) \over x}\,\!}$

${\displaystyle f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)}$

${\displaystyle f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}\,\!\,\,\,}$ (формула доповнення Ейлера).

Диференціальним рівнянням називають рівняння, що пов'язує значення деякої невідомої функції у деякій точці та значення її похідних різних порядків у цій же точці. Диференціальне рівняння містить у своєму записі невідому функцію, її похідні й незалежні змінні. Порядок диференціального рівняння визначається найбільшим порядком похідних, що входять у нього. Розв'язком диференціального рівняння порядку n називають функцію y(x), що має у деякому інтервалі (a, b) похідні ${\displaystyle y'(x),y''(x),...,y^{(n)}(x)}$ до порядку n включно й задовольняє цьому рівнянню. Процес розв'язування диференціального рівняння називають інтегруванням.

Усі диференціальні рівняння можливо поділити на

• звичайні, до яких входять лише функції (та їх похідні) від одного аргумента:

${\displaystyle F\left(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\right)=0\!}$ або ${\displaystyle F\left(x,y,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}},{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}},...,{\frac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}\right)=0}$,

де ${\displaystyle ~y=y(x)}$ — невідома функція (можливо, вектор-функція; у такому випадку часто кажуть про систему диференціальних рівнянь), що залежить від незалежної змінної ${\displaystyle ~x}$, штрих означає диференціювання по ${\displaystyle ~x}$.

• рівняння з частинними похідними, в яких функції, що входять до них, залежать від багатьох змінних:

${\displaystyle F\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m},z,{\frac {\partial z}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial z}{\partial x_{2}}},\dots ,{\frac {\partial z}{\partial x_{m}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1}^{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1}\partial x_{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{2}^{2}}},\dots ,{\frac {\partial ^{n}z}{\partial x_{m}^{n}}}\right)=0}$,

де ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}}$ — незалежні змінні, а ${\displaystyle z\!=z(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})}$ — функція цих змінних.

Оскільки математичні рівняння — достатньо вивчений об'єкт, й існують як аналітичні, так і чисельні методи їх розв'язування, задачі інших областей спочатку формулюють у вигляді рівнянь. Для цього насамперед потрібно ввести позначення невідомих величин і параметрів і використати формули відповідних галузей знань для того, щоб записати співвідношення між ними.

Відмінність між формулою та рівнянням в тому, що формула є правилом для обчислення якоїсь величини і зазвичай має вигляд

${\displaystyle y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,}$,

де у — величина, яку треба обчислити, а ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ — певна функція від набору параметрів. При застосуванні формули потрібно підставити в неї значення параметрів й отримати значення y. Проте кожну формулу можливо трактувати також як рівняння, якщо значення y є відомим, і потрібно знайти значення параметрів, за яких воно реалізується. В цьому випадку параметри, або частина параметрів, стають невідомими.

Особливістю рівнянь у фізиці є те, що змінні, які позначають фізичні величини, є зазвичай розмірними. Розмірність дає змогу проводити додаткову перевірку обчислень, оскільки розмірність результату повинна бути правильною. Якщо величини й параметри задано в задачі в різних одиницях, то всі одиниці перед розв'язуванням рівняння повинно бути зведено до однієї системи одиниць. Для чисельного розв'язування фізичних задач фізичне рівняння потрібно спочатку знерозмірити, тобто ввести нові безрозмірні змінні. Такі змінні зазвичай одержують ділячи певну фізичну величину на її характерне значення.

При розв'язуванні фізичних задач отримані корені рівнянь необхідно перевіряти на відповідність тим припущенням, у рамках яких було отримано рівняння. Іноді математично строгі розв'язки потрібно відкинути, оскільки вони не мають фізичного сенсу.

Окремі з рівнянь фізики мають свої власні назви, наприклад, рівняння руху описують еволюцію фізичної системи, а рівняння стану в термодинаміці задають зв'язок між термодинамічними параметрами.