Циклотронна маса

Поверхня Фермі тривимірного кристала, наприклад кремнію, котрий є непрямозонним напівпровідником, складається з шести еліпсоїдів обертання в k-просторі. Розглянемо переріз поверхні Фермі площиною XZ такий, що в цій площині будуть знаходитися 4 витягнуті еліпси з центрами розташованими на осях на віддалі ${\displaystyle k_{0}}$. Нехай вектор магнітного поля ${\displaystyle \mathbf {B} }$ лежить в цій площині та створює кут ${\displaystyle \theta }$ з віссю Z. Анізотропний закон дисперсії для електронів має вигляд:

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\hbar ^{2}}{2}}\left({\frac {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}{m_{t}}}+{\frac {(k_{z}-k_{0})^{2}}{m_{l}}}\right),}$

де введені дві різні ефективні маси ${\displaystyle m_{t}}$, ${\displaystyle m_{l}}$, які називаються відповідно повздовжною та поперечною ефективними масами. Рівняння руху частки (другий закон Ньютона) із зарядом «-e» в магнітному полі ${\displaystyle \mathbf {B} }$ при відсутності затухання

${\displaystyle \hbar {\frac {d\mathbf {k} }{dt}}=-e\mathbf {v} \times \mathbf {B} ,}$

де ${\displaystyle \mathbf {k} }$ — хвильовий вектор, а швидкість частки ${\displaystyle \mathbf {v} }$ визначається виразом:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{k}\varepsilon =\left({\frac {\hbar k_{x}}{m_{t}}},\,{\frac {\hbar k_{y}}{m_{t}}},\,{\frac {\hbar (k_{z}-k_{0})}{m_{l}}}\right).}$

Тепер розглянемо покомпонентно закон руху:

${\displaystyle \hbar {\frac {dk_{x}}{dt}}=-{\frac {e\hbar Bk_{y}}{m_{t}}}\cos {\theta },}$

${\displaystyle \hbar {\frac {dk_{y}}{dt}}={\frac {e\hbar Bk_{x}}{m_{t}}}\cos {\theta }-{\frac {e\hbar B(k_{z}-k_{0})}{m_{l}}}\sin {\theta },}$

${\displaystyle \hbar {\frac {dk_{z}}{dt}}={\frac {e\hbar Bk_{y}}{m_{t}}}\sin {\theta }.}$

Нас буде цікавити тільки розв'язки виду:

${\displaystyle k_{x}=k_{1}e^{i\omega t},\,k_{y}=k_{2}e^{i\omega t},\,k_{z}=k_{0}+k_{3}e^{i\omega t}.}$

Цей розв'язок існує при певній частоті, котра називається циклотронною, котра залежить від кута:

${\displaystyle \omega _{c}=eB\left({\frac {\sin ^{2}{\theta }}{m_{l}m_{t}}}+{\frac {\cos ^{2}{\theta }}{m_{t}^{2}}}\right)^{1/2}.}$

Тут можна визначити циклотронну масу як

${\displaystyle m_{c}=|e|B/\omega _{c}.}$

Видно, що при ${\displaystyle \theta =0}$, то ${\displaystyle m_{c}=m_{t}}$, а якщо ${\displaystyle \theta =\pi /2}$: ${\displaystyle m_{c}={\sqrt {m_{l}m_{t}}}}$.

В загальному випадку[3] для довільної поверхні Фермі, наприклад в металах поверхня Фермі може приймати складну форму і тому необхідно використовувати наступну формулу для циклотронної частоти

${\displaystyle \omega _{c}={\frac {2\pi |e|B}{\hbar ^{2}}}{\frac {1}{(dS/d\varepsilon )}}}$

та циклотронної маси:

${\displaystyle m_{c}={\frac {\hbar ^{2}}{2\pi }}{\frac {dS}{d\varepsilon }},}$ (1)

де ${\displaystyle S(\varepsilon ,k_{H})}$ — площа перетину  поверхні Фермі  площиною ${\displaystyle {k_{H}}=const}$, де ${\displaystyle k_{H}}$ — проєкція хвильового вектора електрону на напрямок магнітного поля, ${\displaystyle \varepsilon }$ — енергія електрону.

Для найпростішої ізотропної параболічної зони енергію ${\displaystyle \varepsilon }$ та площу перетину ${\displaystyle S}$ можна представити у вигляді наступних функцій :

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\hbar k^{2}}{2m^{*}}}\ }$,

${\displaystyle {S}\left(\varepsilon ,{{k}_{H}}\right)=\pi k_{\bot }^{2}=\pi \left({\frac {2{{m}^{*}}\varepsilon }{{\hbar }^{2}}}-k_{H}^{2}\right)}$,

де ${\displaystyle {{k}_{\bot }}}$- величина компоненти хвильового вектора, що перпендикулярна магнітному полю, ${\displaystyle m^{*}}$- ефективна маса. В цьому випадку похідна площини від енергії буде мати найпростіший вигляд :

${\displaystyle {\frac {d{S}}{d\varepsilon }}={\frac {2\pi {{m}^{*}}}{{\hbar }^{2}}}}$.

Підставляючи отримані значення для похідної в формулу для циклотронної маси, знаходимо:

${\displaystyle m_{c}={\frac {\hbar ^{2}}{2\pi }}\cdot {\frac {dS}{d\varepsilon }}=m^{*}}$.

Таким чином, у випадку простої ізотропної параболічної зони ми будемо мати тотожність фізичних величин — «циклотронної маси» та «ефективної маси». Дана обставина і дозволяє в більшості випадків вимірювати ефективну масу носіїв у твердому тілі.

Двовимірний закон дисперсії графену поблизу точок Дірака задається рівнянням

${\displaystyle \varepsilon =\pm v_{F}k,}$

де ${\displaystyle \varepsilon }$ — енергія збудження, ${\displaystyle v_{F}}$ — швидкість Фермі, ${\displaystyle k}$ — абсолютна величина двовимірного хвильового вектора.

Розглянемо легований графен зі щільністю носіїв на одиницю площі, ${\displaystyle n_{s}}$ , при досить низькій температурі так, що електрони утворюють вироджене Фермі море. Тоді можна визначити «поверхню Фермі» (2D лінія — коло ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{F}}$). Після врахування спінових і долинних вироджень, відповідний хвильовий вектор Фермі ${\displaystyle k_{F}}$ дорівнює

${\displaystyle {{k}_{F}}={\frac {{\left(\pi {{n}_{s}}\right)}^{1/2}}{2\pi }}}$.

Тепер можна визначити «ефективну масу» ${\displaystyle m^{*}}$ звичайним способом (імпульс поділений на швидкість):

${\displaystyle {{m}^{*}}={\frac {\hbar {{k}_{F}}}{{v}_{F}}}\sim n_{s}^{1/2}}$.

Для того, щоб визначити циклотронну масу, у квазікласичному наближенні можна використати рівняння (1), в яке слід підставити, ${\displaystyle S(\varepsilon )}$, площу ${\displaystyle k}$- простору, що оточена орбітою енергії ε

${\displaystyle S\left(\varepsilon \right)=\pi {{k}^{2}}\left(\varepsilon \right)={\frac {\pi {{\varepsilon }^{2}}}{{{\hbar }^{2}}v_{F}^{2}}}}$,

звідки знаходимо, що ${\displaystyle m_{c}=m^{*}}$.

Енергетичний спектр 2D електронних систем у магнітному полі B, нормального до площини, є послідовність дискретних рівній Ландау. Використовуючи квазікласичне наближення квантування площі орбіти в оберненому просторі (квантування Бора-Зомерфельда),

${\displaystyle S\left({{\varepsilon }_{N}}\right)=\pi k^{2}\left({{\varepsilon }_{N}}\right)={\frac {2\pi \left|e\right|BN}{\hbar }},\quad N=0,\pm 1,...}$ ,

ми знайдемо рівні Ландау в графені

${\displaystyle {{\varepsilon }_{N}}=\pm {\sqrt {2\left|e\right|\hbar v_{F}^{2}B\left|N\right|}}}$. (2)

Якщо при ${\displaystyle \varepsilon _{N}=\varepsilon _{F}}$ переписати рівняння (2), як ${\displaystyle {{\varepsilon }_{F}}=\hbar \omega _{c}^{\left(N\right)}{\sqrt {\left|N\right|}}}$, то формула для «циклотронної частоти» має вигляд:

${\displaystyle \omega _{c}^{\left(N\right)}={{v}_{F}}{\sqrt {\frac {2\left|e\right|{{B}_{N}}}{\hbar }}}}$,

де ${\displaystyle B_{N}}$- магнітне поле, що відповідає ${\displaystyle N}$-му рівню Ландау, що збігатися з рівнем Фермі.

В загальному випадку циклотрона швидкість записується в наступному вигляді:

${\displaystyle v_{c}=\omega _{c}\cdot r_{c}=eB\cdot {\frac {r_{c}}{m_{c}}}\ }$,

де у випадку традиційних тривимірних напівпровідників циклотронний радіус та маса визначаються як:

${\displaystyle r_{c}(Si)={\sqrt {2}}l_{B}\ }$, ${\displaystyle m_{c}(Si)=const.\ }$,

а у випадку двовимірного графена:

${\displaystyle r_{c}(Si)={\frac {l_{B}}{\sqrt {2}}}\ }$, ${\displaystyle m_{c}(C)=variable\ }$,

де ${\displaystyle l_{B}={\sqrt {\frac {\hbar }{eB}}}\ }$- магнітна довжина. Таким чином, в звичайному тривимірному напівпровіднику, в якому виконується умова постійної ефективної маси, ми будемо мати змінне значення для циклотронної швидкості (наприклад, в КЕХ):

${\displaystyle v_{c}(Si)={\sqrt {2}}\omega _{c}l_{B}=variable\ }$.

Інша справа — двовимірний графен. Оскільки ефективна маса його носіїв змінюється, то його циклотрона швидкість завжди постійна:

${\displaystyle v_{c}(C)={\frac {\omega _{c}l_{B}}{\sqrt {2}}}v_{B}=const.\ }$

Використавши це, ми можемо через неї визначити і циклотронну частоту:

${\displaystyle \omega _{c}(C)={\sqrt {2}}{\frac {v_{B}}{l_{B}}}}$

та циклотронну масу:

${\displaystyle m_{c}(C)=eB\cdot {\frac {r_{c}(C)}{v_{c}(C)}}={\frac {1}{v_{B}}}{\sqrt {\frac {eB\hbar }{2}}}}$.

Таким чином, за межами розгляду елементів зонної структури та циклотронної маси, лишилась постійна швидкість ${\displaystyle v_{B}}$. Звідки вона взялася, і який її масштаб?

Найточніше значення постійної швидкості носіїв струму в графені було знайдено Діаконом та інш. в експериментах по відгуку фотопровідності на взірцях графена з декількома рівнями Ландау[5].

Це експериментальне значення швидкості для різних рівней Ландау знаходилося в діапазоні значень:

${\displaystyle v_{B.exp}=(1.069-1.118)\cdot 10^{6}m/s}$.

Не важко помітити, що посередині цього діапазону знаходиться єдина фізична величина швидкості, яка називається борівською, оскільки визначає швидкість циклічного руху електрону на першій борівській орбіті атома Бора:

${\displaystyle v_{B}={\frac {\alpha c}{2}}=1.0938453\cdot 10^{6}m/s}$.

На сьогодні рівність цих швидкостей

${\displaystyle v_{B}=v_{B.exp}\ }$

виконується з точністю до двох процентів:

${\displaystyle \Delta =\pm 2.2\%\ }$.

Безумовно надалі точність зросте, проте на скільки, поки що не відомо.

• Циклотронний резонанс

Hook J. R., Hall H. E. Solid State Physics. — 2-nd ed. — Chichester : John Wiley & Sons, 1997. — С. 158-159. — ISBN 0-471-92805-4.

Ридли Б. Квантовые процессы в полупроводниках. — Москва : Мир, 1986. — С. 63-64. — ISBN УДК 537.33+535.2.

• Физическая энциклопедия, т.5 — М.:Большая Российская Энциклопедия стр.429