Частково еквівалентне відношення

Частково еквівалентне відношення (ЧЕВ) ${\displaystyle R}$ на множині ${\displaystyle X}$ є відношення симетричне і транзитивне. Іншими словами, для всіх ${\displaystyle a,b,c\in X}$:

1. Якщо ${\displaystyle aRb}$, тоді ${\displaystyle bRa}$ (симетрія)
2. Якщо ${\displaystyle aRb}$ і ${\displaystyle bRc}$, тоді ${\displaystyle aRc}$ (транзитивність)

Якщо ${\displaystyle R}$ також є рефлексивним, тоді ${\displaystyle R}$ є відношенням еквівалентності.

У контексті теорії множин, є проста структура до загального ЧЕВ ${\displaystyle R}$ на ${\displaystyle X}$: це відношення еквівалентності на підмножині ${\displaystyle Y=\{x\in X|x\,R\,x\}\subseteq X}$, де${\displaystyle Y}$ є такою підмножиною ${\displaystyle X}$, що у доповнені ${\displaystyle Y}$(${\displaystyle X\setminus Y}$) жоден елемент не пов'язан відношенням ${\displaystyle R}$ з будь-яким іншим. Згідно з конструкцією,${\displaystyle R}$ рефлексивно на ${\displaystyle Y}$ і тому є відношенням еквівалентності на ${\displaystyle Y}$. Зверніть увагу, що ${\displaystyle R}$ є вірним тільки для елементів ${\displaystyle Y}$: якщо ${\displaystyle xRy}$, то в силу симетрії ${\displaystyle yRx}$, тому ${\displaystyle xRx}$ і ${\displaystyle yRy}$ по транзитивності. І навпаки будь-яке відношення еквівалентності на ${\displaystyle Y}$ автоматично стає ЧЕВ на ${\displaystyle X}$.

ЧЕВ використовується, в основному, в галузі інформатики, теорії типів і конструктивної математики.