Числа Каллена

В математиці числами Каллена називають натуральні числа виду  (пишеться Cn). Числа Каллена вперше були досліджені Джеймсом Калленом в 1905. Числа Каллена — це особливий вид чисел Прота.

Властивості

В 1976 році Христофор Хулей (Christopher Hooley) показав, що для щільності послідовності додатних  цілих , при яких Cn просте, існує o(x) для . В цьому сенсі майже всі числа Каллена складні. Доведення Христофора Хулей було перероблено математиком Хірмі Суяма, щоб показати, що воно вірне для будь-якої послідовності чисел де a та b цілі числа, і частково також для чисел Вудала. Всі відомі прості числа Каллена відповідають n, рівному:


1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 (послідовність A005849 в OEIS). 

Є припущення, що існує нескінченно багато  простих чисел Каллена.

До серпня 2009, найбільшим відомим простим числом Каллена було . Це мегапросте число з 2 010 852 знаками було відкрито співучасником PrimeGrid з Японії.[1]

Числа Каллена Cn ділятся на , якщо p просте число виду . Це випливає з малої теореми Ферма, бо якщо p просте непарне, то p є дільником Cm(k) для кожного (для k > 0). Було також показано, що просте число p є дільником , коли символ Якобі  −1, і що p є дільником , коли символ Якобі  +1.


Невідомо, чи існує просте число p, таке що Cp також просте.

Узагальнення

Інколи узагальненими числами Каллена називають числа виду , де n + 2 > b. Якщо просте число може бути записано в такій формі, його називають узагальненим простим числом Каллена. Числа Вудала інколи називають числами Каллена другого роду.

До лютого 2012 року найбільшим відомим узагальненим простим числом Каллена було . Воно має 877 069 знаків і було відкрито співучасником PrimeGrid з США.[2]

Посилання

  1. The Prime Database: 6679881*2^6679881+1. Проверено 22 декабря 2009.The Prime Database: 6679881*2^6679881+1. Chris Caldwell's The Largest Known Primes Database. Процитовано 22 грудня 2009.
  2. The Prime Database: 427194 • 113^427194 + 1. Проверено 30 января 2012.The Prime Database: 427194 • 113^427194 + 1. Chris Caldwell's The Largest Known Primes Database. Процитовано January 30,2012.

Подальше читання

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.