T-функція Оуена

Функція ${\displaystyle T(h,a)}$ дає ймовірність події (${\displaystyle X>h}$ та ${\displaystyle 0<Y<aX}$), де X і Y є незалежними стандартними нормальними випадковими величинами.

Цю функцію можна використовувати для обчислення двовимірних ймовірностей нормального розподілу[2][3], і далі - для обчислення багатовимірних ймовірностей нормального розподілу[4]. Вона також часто зустрічається в різних інтегралах, в яких використовуються функції Гауса.

Доступні комп’ютерні алгоритми для точного розрахунку цієї функції[5]; квадратура застосовується з 1970-х років[6].

${\displaystyle T(h,0)=0}$

${\displaystyle T(0,a)={\frac {1}{2\pi }}\arctan(a)}$

${\displaystyle T(-h,a)=T(h,a)}$

${\displaystyle T(h,-a)=-T(h,a)}$

${\displaystyle T(h,a)+T(ah,{\frac {1}{a}})={\frac {1}{2}}\left(\Phi (h)+\Phi (ah)\right)-\Phi (h)\Phi (ah)\quad {\text{if}}\quad a\geq 0}$

${\displaystyle T(h,a)+T(ah,{\frac {1}{a}})={\frac {1}{2}}\left(\Phi (h)+\Phi (ah)\right)-\Phi (h)\Phi (ah)-{\frac {1}{2}}\quad {\text{if}}\quad a<0}$

${\displaystyle T(h,1)={\frac {1}{2}}\Phi (h)\left(1-\Phi (h)\right)}$

${\displaystyle \int T(0,x)\,\mathrm {d} x=xT(0,x)-{\frac {1}{4\pi }}\ln(1+x^{2})+C}$

Тут Φ (x) - стандартна нормальна кумулятивна функція розподілу

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-t^{2}/2\right)\,\mathrm {d} t}$

Більше властивостей можна знайти в літературі[7].

• Owen, D. (1980). A table of normal integrals. Communications in Statistics: Simulation and Computation B9: 389–419. (англ.)

• Owen's T function (user web site) - offers C++, FORTRAN77, FORTRAN90, and MATLAB libraries released under the LGPL license LGPL
• Owen's T-function is implemented in Mathematica since version 8, as OwenT.

• Why You Should Care about the Obscure (Wolfram blog post) (англ.)