Квадратури Гауса

Один з найпоширеніших випадків, коли ${\displaystyle \omega (x)=1}$, тоді для знаходження вузлів і ваг використовують поліноми Лежандра P_n(x), а метод також називають квадратурою Гауса–Лежандра. Вузли знаходять, як корені поліномів P_n(x). Аналітичного співвідношення для них немає, а для вагових коефіцієнтів n-го порядку формула має вигляд:

${\displaystyle w_{i}={\frac {2}{\left(1-x_{i}^{2}\right)[P'_{n}(x_{i})]^{2}}}.\,\!}$

Значення для деяких квадратур низького порядку наведено в таблиці:

Кількість вузлів, n	Точні значення		Заокруглені значення
	Вузли, xi	Ваги, wi	Вузли, xi	Ваги, wi
1	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2}$	0	2
2	${\displaystyle \pm {\sqrt {1/3}}}$	${\displaystyle 1}$	±0.57735027	1
3	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\tfrac {8}{9}}}$	0	0.88888889
	${\displaystyle \pm {\sqrt {3/5}}}$	${\displaystyle {\tfrac {5}{9}}}$	±0.77459667	0.55555556
4	${\displaystyle \pm {\sqrt {{\Big (}3-2{\sqrt {6/5}}{\Big )}/7}}}$	${\displaystyle {\tfrac {18+{\sqrt {30}}}{36}}}$	±0.33998104	0.65214515
	${\displaystyle \pm {\sqrt {{\Big (}3+2{\sqrt {6/5}}{\Big )}/7}}}$	${\displaystyle {\tfrac {18-{\sqrt {30}}}{36}}}$	±0.86113631	0.34785485
5	0	${\displaystyle {\tfrac {128}{225}}}$	0	0.56888889
	${\displaystyle \pm {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {10/7}}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}}$	±0.53846931	0.47862867
	${\displaystyle \pm {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {10/7}}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}}$	±0.90617985	0.23692689

Для обчислення інтегралів на проміжку [-1;1] у випадку вагової функції ${\displaystyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ використовують поліноми Чебишова першого роду T_n, вузли і ваги будуть задані співвідношеннями:

${\displaystyle x_{i}=\cos \left({\frac {2i-1}{2n}}\pi \right)}$

${\displaystyle w_{i}={\frac {\pi }{n}}}$

Коли ж ${\displaystyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$ використовують поліноми Чебишова другого роду U_n, а вузли і ваги можна знайти із співвідношень:

${\displaystyle x_{i}=\cos \left({\frac {i}{n+1}}\pi \right)}$

${\displaystyle w_{i}={\frac {\pi }{n+1}}\sin ^{2}\left({\frac {i}{n+1}}\pi \right).\,}$

Таблиця значень для деяких квадратур низького порядку:

Кількість вузлів, n	поліноми першого роду		поліноми другого роду
	Вузли, xi	Ваги, wi	Вузли, xi	Ваги, wi
1	0	${\displaystyle \pi }$	0	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$
2	${\displaystyle \pm {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle \pm 1/2}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$
3	0	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	0	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$
	${\displaystyle \pm {\sqrt {3}}/2}$		${\displaystyle \pm {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{8}}}$
4	${\displaystyle \pm {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{\Big /}2}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle \pm ({\sqrt {5}}+1)/4}$	${\displaystyle \pi {\frac {5-{\sqrt {5}}}{40}}}$
	${\displaystyle \pm {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{\Big /}2}$		${\displaystyle \pm ({\sqrt {5}}-1)/4}$	${\displaystyle \pi {\frac {5+{\sqrt {5}}}{40}}}$
5	0	${\displaystyle {\frac {\pi }{5}}}$	0	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$
	${\displaystyle \pm {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{\Big /}4}$		${\displaystyle \pm {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{24}}}$
	${\displaystyle \pm {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{\Big /}4}$		${\displaystyle \pm 1/2}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$

Для вагової функції ${\displaystyle w(x)=(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }}$ де α і β > −1 використовують поліноми Якобі P_n^(α,β)(x). В такому разі, вагові коефіцієнти можна знайти із співвідношення:

${\displaystyle w_{i}=-{\frac {2n+\alpha +\beta +2}{n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)(n+1)!}}{\frac {2^{\alpha +\beta }}{P'_{n}(x_{i})P_{n+1}(x_{i})}},}$

Щоб порахувати інтеграл ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x}f(x)\,dx.}$ можна скористатись поліномами Лаґерра L_n. Вузли будуть коренями полінома L_n, а ваги задані формулою:

${\displaystyle w_{i}={\frac {x_{i}}{(n+1)^{2}[L_{n+1}(x_{i})]^{2}}}.}$

В більш загальному випадку ${\displaystyle w(x)=x^{\alpha }e^{-x}}$ використовують узагальнені поліноми Лаґерра L_n^(α)

Для обчислення інтегралу ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}f(x)\,dx}$ вузли квадратури x_i шукають як розв'язки поліномів Ерміта(фізичної версії) H_n(x) а відповідні ваги w_i можна знайти:

${\displaystyle w_{i}={\frac {2^{n-1}n!{\sqrt {\pi }}}{n^{2}[H_{n-1}(x_{i})]^{2}}}}$

Квадратурою Гауса-Радау (або квадратура Радау) називають таку n точкову квадратуру, яка точна для поліномів порядку не вище 2n-3, але початкова точка інтервалу інтегрування включена в список вузлів квадратури, тоді як визначається решта n-1 вузол. Формула для інтегралу на проміжку [-1;1] з 1-ою ваговою функцією представляється у вигляді:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,dx=w_{1}f(-1)+\sum _{i=2}^{n}w_{i}f(x_{i})+E.}$

Невідомі вузли x_i для i = 2,…,n є коренями полінома ${\displaystyle {\frac {P_{n-1}(x)+P_{n}(x)}{1+x}}}$, де P_k, k-ий поліном Лежандра.

Вага для першого вузла ${\displaystyle w_{1}={\frac {2}{n^{2}}}}$, решта визначаються за формулою:

${\displaystyle w_{i}={\frac {1-x_{i}}{[nP_{n-1}(x_{i})]^{2}}}={\frac {1}{(1-x_{i})[P_{n-1}^{'}(x_{i})]^{2}}}}$

Залишковий член:

${\displaystyle E={\frac {2^{2n-1}n[(n-1)!]^{4}}{[(2n-1)!]^{3}}}f^{(2n-1)}(\xi ),\quad (-1<\xi <1).}$

Таблиця значень для деяких квадратур низького порядку:

Кількість вузлів, n	Точні значення		Заокруглені значення
	Вузли, xi	Ваги, wi	Вузли, xi	Ваги, wi
2	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	-1	0.5
	${\displaystyle 1/3}$	${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$	0.33333333	1.6
3	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{9}}}$	-1	0.22222222
	${\displaystyle {\tfrac {1-{\sqrt {6}}}{5}}}$	${\displaystyle {\tfrac {16+{\sqrt {6}}}{18}}}$	-0.28989795	1.02497165
	${\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {6}}}{5}}}$	${\displaystyle {\tfrac {16-{\sqrt {6}}}{18}}}$	0.68989795	0.75280613
4			-1	0.125
			-0.575319	0.657689
			0.181066	0.776387
			0.822824	0.440924
5			-1	0.08
			-0.72048	0.446208
			-0.167181	0.623653
			0.446314	0.562712
			0.885792	0.287427

Також відомі як квадратури Лобатто, названі в честь нідерландського математика Рехюла Лобатто. Це такі n точкові квадратури, які точні для поліномів порядку не вище 2n-3, але початкова і кінцева точки інтервалу інтегрування включена в список вузлів квадратури, тоді як визначається решта n-2 вузли. Формула для інтегралу на проміжку [-1;1] з 1-ою ваговою функцією:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{f(x)\,dx}=w_{1}f(-1)+w_{n}f(1)+\sum _{i=2}^{n-1}{w_{i}f(x_{i})}+E_{n}.}$

Вузли x_i для i = 2,…,n-1 є i-1-и коренями полінома P'_n-1.

Перша і остання ваги ${\displaystyle w_{1,n}={\frac {2}{n(n-1)}}}$ а решта:

${\displaystyle w_{i}={\frac {2}{n(n-1)[P_{n-1}(x_{i})]^{2}}}\quad (x_{i}\neq \pm 1).}$

Залишок у вигляді:

${\displaystyle E_{n}={\frac {-n(n-1)^{3}2^{2n-1}[(n-2)!]^{4}}{(2n-1)[(2n-2)!]^{3}}}f^{(2n-2)}(\xi ),\quad (-1<\xi <1)}$

Таблиця значень для деяких квадратур низького порядку:

Кількість вузлів, n	Точні значення		Заокруглені значення
	Вузли, xi	Ваги, wi	Вузли, xi	Ваги, wi
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}}$	0	1.33333333
	${\displaystyle \pm 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$	±1	0.33333333
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1/5}}}$	${\displaystyle {\tfrac {5}{6}}}$	±0.44721360	0.83333333
	${\displaystyle \pm 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}}$	±1	0.16666667
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\tfrac {32}{45}}}$	0	0.71111111
	${\displaystyle \pm {\sqrt {3/7}}}$	${\displaystyle {\tfrac {49}{90}}}$	0.65465367	0.54444444
	${\displaystyle \pm 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{10}}}$	±1	0.1
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle {\sqrt {{\Big (}7-2{\sqrt {7}}{\Big )}{\Big /}21}}}$	${\displaystyle {\tfrac {14+{\sqrt {7}}}{30}}}$	0.28523151	0.55485838
	${\displaystyle {\sqrt {{\Big (}7+2{\sqrt {7}}{\Big )}{\Big /}21}}}$	${\displaystyle {\tfrac {14-{\sqrt {7}}}{30}}}$	0.76505532	0.37847496
	${\displaystyle \pm 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{15}}}$	±1	0.06666667