U-критерій Манна-Уітні

Цей метод виявлення відмінностей між вибірками був запропонований у 1945 році Френком Уілкоксоном (F. Wilcoxon). У 1947 році він був істотно перероблений і розширений Г. Б. Манном (H. B. Mann) і Д. Р. Уітні (D. R. Whitney), на честь яких сьогодні зазвичай і називається.

Простий непараметричний критерій. Потужність критерію вища, ніж у Q -критерію Розенбаума.

Цей метод визначає, чи досить мала зона значень, що перехрещуються, між двома рядами (ранжованим рядом значень параметра в першій вибірці і таким же в другій вибірці). Чим менше значення критерію, тим імовірніше, що відмінності між значеннями параметра у вибірках достовірні.

1. У кожній з вибірок повинно бути не менше 3 значень ознаки. Допускається, щоб в одній вибірці були два значення, але в другій тоді не менше п'ять.
2. У вибіркових даних не повинно бути збігів значень (усі числа — різні) або таких збігів повинно бути дуже мало.

Для застосування U-критерію Манна — Уітні треба зробити такі операції:

1. Скласти єдиний ранжований ряд з обох вибірок, що зіставляються, розставивши їхні елементи за мірою наростання ознаки і приписавши меншому значенню менший ранг. Загальна кількість рангів вийде рівною:

   ${\displaystyle N=n_{1}+n_{2},}$

   де ${\displaystyle n_{1}}$ — кількість одиниць в першій вибірці, а ${\displaystyle n_{2}}$ — кількість одиниць в другій вибірці.

2. Розділити єдиний ранжований ряд на два, що складаються відповідно з одиниць першої і другої вибірок. Підрахувати окремо суму рангів, що припали на долю елементів першої вибірки, і окремо — на долю елементів другої вибірки. Визначити більшу з двох рангових сум (${\displaystyle T_{x}}$), таку, що відповідає вибірці з ${\displaystyle n_{x}}$ одиниць.
3. Визначити значення U -критерію Манна — Уітні за формулою:

   ${\displaystyle U=n_{1}\cdot n_{2}+{\frac {n_{x}\cdot (n_{x}+1)}{2}}-T_{x}.}$

4. За таблицею для обраного рівня статистичної значущості визначити критичне значення критерію для даних ${\displaystyle n_{1}}$ і ${\displaystyle n_{2}}$. Якщо набуте значення ${\displaystyle U}$ менше табличного або дорівнює йому, то визнається наявність істотної відмінності між рівнем ознаки в даних вибірках (приймається альтернативна гіпотеза). Якщо ж набуте значення ${\displaystyle U}$ більше за табличне, приймається нульова гіпотеза. Достовірність відмінностей тим вище, чим менше значення ${\displaystyle U}$.
5. При справедливості нульової гіпотези критерій має математичне сподівання ${\displaystyle M(U)={\frac {n_{1}\cdot n_{2}}{2}}}$ і дисперсію ${\displaystyle D(U)={\frac {n_{1}\cdot n_{2}\cdot (n_{1}+n_{2})}{12}}}$ і при достатньо великому об'ємі вибіркових даних ${\displaystyle (n_{1}>19,\;n_{2}>19)}$ розподілений практично нормально.

• Автоматичний розрахунок U-критерію Манна — Уітні (англ.)

• Таблиця критичних значень U-критерію Манна — Уітні(рос.)
• Critical Values for the Mann — Whitney U-Test.(англ.)

• Mann H. B., Whitney D. R. On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other. // Annals of Mathematical Statistics. — 1947. — № 18. — P. 50—60. (англ.)
• Wilcoxon F. Individual Comparisons by Ranking Methods. // Biometrics Bulletin 1. — 1945. — P. 80-83. (англ.)
• Гублер Е. В., Генкин А. А. Применение непараметрических критериев статистики в медико-биологических исследованиях. — Л., 1973. (рос.)
• Турчин В. М. Математична статистика: Посіб.. — К. : Видавничий центр «Академія», 1999. — 240с.

• Перевірка статистичних гіпотез