Індукована топологія

Індукована топологія — природний спосіб задання топології на підмножині топологічного простору.

Визначення

Нехай дано топологічний простір , де — довільна множина, а — визначена на топологія. Нехай також . Визначимо — сім'юпідмножин таким чином:

Нескладно перевірити, що є топологією на . Ця топологія називається індукованою топологією . Топологічний простір називається підпростором .

Цю конструкцію можна узагальнити. Нехай — довільна множина, — топологічний простір і — довільне відображення в . Тоді як візьмемо всілякі множині виду (), де — відкриті множини в . Топологія називається індукованою відображенням топологією. Відображення в цій топології автоматично стає неперервним. Це найслабша (вона містить найменше множин) з усіх можливих топологій на множині , для яких відображення буде неперервним.

Приклад

Нехай дана дійсна пряма зі стандартною топологією. Тоді топологія, індукована останньою на множині всіх натуральних чисел , є дискретною.

Властивості

Нехай є підпростором в і позначає відображення вкладення. Тоді для довільного топологічного простору відображення є неперервним тоді і тільки тоді коли композиція відображень є неперервною.

Characteristic property of the subspace topology

Цю властивість можна використати для визначення індукованої топології на . Надалі позначаиме підпростір простору .

  • Якщо є неперервним то його обмеження на теж є неперервним.
  • Якщо є неперервним то is continuous.
  • Якщо є підпростором в то є також підпростором в з тією ж топологією. Іншими словами топологія на індуковаа топологією на є тою ж, що і топологія індукована з .
  • Якщо є базисом топології то є базисом топології .
  • Топологія індукована обмеженням метрики на підмножину метричного простору збігається з індукованою топологією.

Джерела

  • Gaal, Steven A.(1966), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 (англ.)
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.