Інтегральне рівняння Абеля

Інтегральне рівняння Абеля — інтегральне рівняння вигляду

${\displaystyle \int _{0}^{x}\phi (s)(x-s)^{-{\frac {1}{2}}}\,ds=f(x)}$

де ${\displaystyle \ f(x)}$ — відома функція, ${\displaystyle \ \phi (x)}$ — функція, яку потрібно знайти. Отримане і розв'язане Н. Абелем в 1823 при розгляді руху матеріальної точки у вертикальні площині під дією сили тяжіння, по деякій криві поверхні. Рівняння Абеля часто виникає при розв'язку обернених задач, наприклад з визначення потенціальної енергії за періодом коливань, чи при відновленні поля розсіяння за ефективним перерізом в класичній механіці. Це рівняння належить до класу рівнянь Вольтерра першого роду. Розглядають також узагальнене інтегральне рівняння Абеля

${\displaystyle \int _{a}^{x}\phi (s)(x-s)^{-\alpha }\,ds=f(x)}$,

де ${\displaystyle 0<\alpha <1,0<a}$. Якщо ${\displaystyle f(x)}$ неперервно диференційовна функція, то рівняння має єдиний неперервний розв'язок

${\displaystyle \phi (x)={\frac {\sin {\pi \alpha }}{\pi }}{\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}{\frac {f(t)dt}{(x-t)^{1-\alpha }}}}$

В класі узагальнених функцій розв'язок існує при будь-яких ${\displaystyle \alpha }$