Диференційовна функція

Нехай функція ${\displaystyle y=f(x)}$ визначена в деякому околі точки ${\displaystyle x_{0}}$ і нехай ${\displaystyle \Delta x=x-x_{0}}$. Функція ${\displaystyle f}$ називається диференційовною в точці ${\displaystyle x_{0}}$ (англ. differentiable), якщо приріст ${\displaystyle \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}$ можна представити у вигляді:

${\displaystyle \Delta y=A\Delta x+\alpha (\Delta x)}$.

де:

${\displaystyle A}$ — стала. При фіксованій ${\displaystyle x_{0}}$ A не залежить від ${\displaystyle \Delta x}$; але коли відбувається зміна ${\displaystyle x_{0}}$, A змінюється також,

${\displaystyle \alpha (\Delta x)=o(\Delta x)}$ при ${\displaystyle x\to 0}$.

Лінійна функція ${\displaystyle A\Delta x}$ (від ${\displaystyle \Delta x}$) називається диференціалом функції в точці ${\displaystyle x_{0}}$ і позначається ${\displaystyle df(x_{0})}$, або, коротше ${\displaystyle dy}$.

Таким чином:

${\displaystyle \Delta y=dy+o(\Delta x)}$ при ${\displaystyle \Delta x\to 0}$,

${\displaystyle dy=A\Delta x}$.

Відображення ${\displaystyle f\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ називається диференційовним в точці ${\displaystyle x_{0}}$ якщо існує лінійне відображення ${\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$, що залежить від точки ${\displaystyle x_{0}}$, таке що

${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+A(x-x_{0})+o(\|x-x_{0}\|),\ \quad x\to x_{0},}$

або

${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {\|f(x)-f(x_{0})-A(x-x_{0})\|}{\|x-x_{0}\|}}=0}$.

Лінійне відображення ${\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ називається диференціалом відображення ${\displaystyle f(x)}$ в точці ${\displaystyle x_{0}}$.

Якщо відображення ${\displaystyle f\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ задано за допомогою функцій

${\displaystyle f_{i}\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,\ \quad i=1,\ldots ,m,}$

то матриця диференціала ${\displaystyle A}$ — це матриця Якобі, елементи якої рівні частковим похідним ${\displaystyle \mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}.}$

• Похідна
• Інтегровна функція
• Часткова похідна
• Похідна за напрямком
• Точка зламу