Інтерполяція випадкового процесу

Інтерполя́ція випадко́вого проце́су — одна із задач прогнозу теорії випадкових процесів. Лінійна інтерполяція випадкового процесу полягає в побудові оцінки ${\displaystyle \xi (t)}$ значення процесу ${\displaystyle {\bar {\xi }}(t)}$ у момент часу ${\displaystyle \tau \ (0<\tau <T)}$, яка лінійно виражається через спостереження ${\displaystyle \xi (t)}$ при ${\displaystyle t\leq 0}$ і ${\displaystyle t\geq T}$. При цьому звичайно шукають оцінки ${\displaystyle {\tilde {\xi }}(t)}$, для яких квадрат середньоквадратичної похибки ${\displaystyle \sigma ^{2}(t)=M\left|\xi (t)-{\tilde {\xi }}(t)\right|^{2}}$ є мінімальним. Явні формули для вирішення задачі інтерполяції випадкового процесу отримані для стаціонарних випадкових процесів з дробово-раціональною спектральною густиною. Наприклад, якщо спектральна густина процесу ${\displaystyle \xi (t)}$ дорівнює ${\displaystyle f(\lambda )={\frac {c}{\lambda ^{2}+\alpha ^{2}}}}$ то ${\displaystyle {\tilde {\xi }}(t)={\frac {1}{sh\ \alpha T}}(\xi (0)\ sh\ \alpha (T-\tau )+\xi (T)\ sh\ \ \alpha \tau )}$.

Вперше задачу лінійної інтерполяції випадкового процесу для стаціонарної послідовності ${\displaystyle \xi _{n}}$ спектральною густиною ${\displaystyle f(\lambda )}$, що спостерігається при всіх ${\displaystyle n}$, окрім ${\displaystyle n=0}$, розглянув радянський математик О. М. Колмогоров. Виявилося, що квадрат середньоквадратичної похибки інтерполяції ${\displaystyle \xi _{0}}$ дорівнює

${\displaystyle \sigma ^{2}=2\pi \left[\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {d\lambda }{f(\lambda )}}\right]^{-1}}$.

Інтерполяція практично безпомилкова, якщо

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }{\frac {d\lambda }{f(\lambda )}}=+\infty }$.