Їжак (топологія)

Їжак у загальній топології — приклад метризовного простору. Будується з центральної точки $O$ , одиничного півінтервалу $\mathbb {P} =(0,1]$ і довільної множини $S$ заданої потужності ${\mathfrak {m}}$ , яку називають колючістю їжа, як:

J({\mathfrak {m}})=\{O\}\cup (\mathbb {P} \times S)

,

із введенням метрики наступним чином:

$d(O,(x,s))=x$
$d((x,s_{1}),(y,s_{2}))={\begin{cases}|x-y|,&s_{1}=s_{2}\\x+y,&s_{1}\neq s_{2}\end{cases}}$ .

Назва виникла через асоціацію з «голками», що стирчать з відрізку, «колючість» у цій асоціації зіставляється з кількістю голок. Таким чином, $J(0)$ — просто точка $O$ , $J(1)=J(2)$ — відрізок.

Властивості

Їжак заданої колючості не залежить від обирання множини $S$ із точністю до гомеоморфізму.

Їжак є повним простором, також не є цілком обмеженим простором, при ${\mathfrak {m}}\geqslant \omega$ [1], не сильно паракомпактний при ${\mathfrak {m}}>\omega$ [2].

Не є локально сепарабельним при ${\mathfrak {m}}>\omega$ [3].

$J({\mathfrak {m}})$ вкладається в $J({\mathfrak {n}})$ при ${\mathfrak {m}}\leqslant {\mathfrak {n}}$ .

$J({\mathfrak {m}})$ вкладається в площину $\mathbb {R} ^{2}$ тільки при ${\mathfrak {m}}<\omega$ (вже у зліченному випадку характер центру їжака стає незліченним).

Якщо ${\mathfrak {m}}$ — скінчене, то вага, щільність, характер, клітковість і число Ліндельофа їжака $J({\mathfrak {m}})$ дорівнюють $\omega$ . Інакше (при ${\mathfrak {m}}\geqslant \omega$ ) вага і характер дорівнюють $2^{\mathfrak {m}}$ , а щільність, клітковість і число Ліндельофа — ${\mathfrak {m}}$ .

Цікаві відомості

Квадрат тріоду $J(3)$ не вкладається у тривимірний евклідів простір $\mathbb {R} ^{3}$ .

На площині ( $\mathbb {R} ^{2}$ ) неможливо розташувати незліченну кількість тріодів $J(3)$ так, щоб вони попарно не перетиналися.

Відкрите відображення їжака — знову їжак, не більшої колючості (тут треба акуратно розуміти збіги випадків $J(1)$ і $J(2)$ ).

Література

Енгелькінг, Ришард. Загальна топологія. — М., 1986. — С. 374-375.
Arkhangelskii, A. V.; Pontryagin, L. S. (1990). General Topology I. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-18178-4..
Carlisle, Sylvia (2007). Model Theory of Real Trees. Graduate Student Conference in Logic. Univ. of Illinois, Chicago..
Kowalsky, H. J. (1961). Topologische Räume. Basel-Stuttgart: Birkhäuser..
Steen, L. A.; Seebach, J. A., Jr. (1970). Counterexamples in Topology. Holt, Rinehart and Winston..
Swardson, M. A. (1979). A short proof of Kowalsky's hedgehog theorem. Proc. Amer. Math. Soc. 75 (1): 188. doi:10.1090/s0002-9939-1979-0529240-7..

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[FOOTNOTEЕнгелькінг1986395-1] Енгелькінг, 1986, с. 395.

[FOOTNOTEЕнгелькінг1986528-2] Енгелькінг, 1986, с. 528.

[FOOTNOTEЕнгелькинг1986425-3] Енгелькинг, 1986, с. 425.