Зліченна множина

Зліченна множина — в теорії множин така нескінченна множина, елементи якої можна занумерувати натуральними числами. Множина, яка не є зліченною, називається незліченною. Таким чином, будь-яка множина є або скінченною, або зліченною, або незліченною.

Формально: множина Y є зліченною, якщо існує бієкція f: Y → N, де N — множина натуральних чисел. Тобто зліченна множина — це множина, рівнопотужна множині натуральних чисел.

Зліченна множина є найменшою нескінченною множиною в тому розумінні, що в будь-якій нескінченній множини знайдеться зліченна підмножина.

Властивості
  1. Будь-яка підмножина зліченної множини або зліченна, або скінченна.
  2. Об'єднання скінченної або зліченної кількості зліченних множин є зліченним.
  3. Декартів добуток скінченної кількості зліченних множин є зліченним.
  4. Множина всіх скінченних підмножин зліченної множини є зліченною.
  5. Якщо множина A нескінченна, а множина B скінченна або зліченна, то A∪B — рівнопотужна A.
  6. За теоремою Кантора, потужність довільної множини є меншою, ніж потужність її булеану (множини всіх її підмножин). Звідси випливає, що булеан множини натуральних чисел є незліченною множиною.

Приклади

Зліченні множини
  • Прості числа
  • Натуральні числа
  • Цілі числа
  • Раціональні числа
  • Алгебричні числа
  • Кільце періодів
  • Рекурсивні числа
  • Арифметичні числа
  • Множина всіх скінчених слів над скінченим чи зліченним алфавітом
  • Довільне нескінченне сімейство неперетинних відкритих інтервалів на дійсній осі
  • Множина всіх прямих на площині, кожна з яких містить принаймні 2 точки з раціональними координатами
  • Довільна нескінченна множина точок на площині, всі попарні відстані між елементами якої раціональні

Незліченні множини

Див. також

Джерела
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.