Відкрите відображення

Відображення ${\displaystyle f}$ з топологічного простору ${\displaystyle X}$ у топологічний простір ${\displaystyle Y}$ називається відкритим, якщо образ ${\displaystyle f(U)}$ будь-якої відкритої підмножини ${\displaystyle U}$ з ${\displaystyle X}$ є відкритою підмножиною у просторі ${\displaystyle Y}$.

Пов'язаним є поняття відносно відкритого відображення, яке іноді теж називають просто відкритими відображеннями. Відображення ${\displaystyle f}$ з топологічного простору ${\displaystyle X}$ у топологічний простір ${\displaystyle Y}$ називається відносно відкритим, якщо образ ${\displaystyle f(U)}$ будь-якої відкритої підмножини ${\displaystyle U}$ з ${\displaystyle X}$ є відкритою підмножиною у образі всього простору ${\displaystyle f(X)}$.

Очевидно, що відкрите відображення є відносно відкритою але не навпаки. Відображення є відкритим тоді і тільки тоді коли воно є відносно відкритим і ${\displaystyle f(X)}$ є відкритою підмножиною у просторі ${\displaystyle Y}$.

• Неперервне відображення є гомеоморфізмом тоді і тільки тоді коли воно є відкритим.
• Композиція відкритих відображень є відкритим відображенням.
• Відображення ${\displaystyle f\colon \,X\to Y}$ є відкритим тоді і тільки тоді, коли для кожної точки ${\displaystyle x\in X}$ і кожного околу ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle X}$ образ відображення ${\displaystyle f(U)}$ є околом точки ${\displaystyle f(x)}$ у просторі ${\displaystyle Y}$.
• Відображення є відкритим тоді і тільки тоді коли ${\displaystyle f(A^{\circ })\subseteq f(A)^{\circ }.}$
• Категорна сума і добуток відкритих відображень є відкритими відображеннями.
• Образом простору, що задовольняє другу аксіому зліченності при відкритому неперервному сюр'єктивному відображенні є простір, що теж задовольняє другу аксіому зліченності.
• Образами метричних просторів при неперервних відкритих відображеннях є простори з першою аксіомою зліченності і тільки вони.
• Метризовний простір, що є образом повного метричного простору при неперервному відкритому відображенні, є метризовним повною метрикою.
• Якщо паракомпактний простір є образом повного метричного простору при неперервному відкритому відображенні, то він є метризовним.
• При неперервному відкритому відображенні компактного простору, якщо прообраз довільної точки образу є зліченним, розмірність образу відображення не перевищує розмірності простору. Натомість кожен компакт є образом деякого одновимірного компакта при неперервному відкритому відображенні з нульвимірними прообразами точок. Тривимірний куб можна неперервно і відкрито відобразити на куб будь-якої більшої розмірності.

• Якщо топологічний простір ${\displaystyle Y}$ є дискретним, то будь-яке відображення топологічних просторів ${\displaystyle f:X\to Y}$ є відкритим.
• Проекція добутку топологічних просторів на множники є відкритими відображеннями.
• Функція ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ на дійсній прямій зі стандартною топологією є неперервною й замкнутою, але не є відкритою. Натомість вона є відносно відкритою.
• Прикладом неперервного відображення, що не є відносно відкритим є відображення, що для деякого ірраціонального числа ${\displaystyle \alpha }$ задається як ${\displaystyle f(x)=(e^{2\pi ix},e^{\alpha 2\pi ix}).}$ Його можна розглядати як відображення ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to S^{1}\times S^{1}}$. Образ відображення при цьому не є відкритою підмножиною у ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$.
• Поставимо у відповідність кожній точці одиничного кола її кутовий коефіцієнт. Задане таким чином відображення ${\displaystyle S^{1}\to (0,2\pi ]}$ є замкнутим, відкритим бієктивним відображенням, яке не є неперервним. Іншим прикладом замкнутого й відкритого відображення, що не є неперервним, є ціла частина числа, як відображення з множини дійсних чисел зі стандартною топологією на множину цілих чисел із дискретною топологією.
• У функціональному аналізі неперервний сюр'єктивний лінійний оператор між просторами Банаха є неперервним відображенням.
• У комплексному аналізі, згідно принципу збереження області голоморфна функція на зв'язаній відкритій підмножині комплексної площини (чи, більш загально, скінченновимірного комплексного векторного простору) є відкритим відображенням.
• В диференціальній геометрії згідно теореми про обернене відображення, що неперервно диференційовна функція між евклідовими просторами, матриця Якобі якої є невиродженою в даній точці, є відкритим відображенням в деякому околі цієї точки. Узагальнено: якщо відображення ${\displaystyle f:U\to V}$ між диференційовними многовидами є субмерсією, тобто диференціал ${\displaystyle \operatorname {d} f(x)}$ є сюр'єктивним у кожній точці ${\displaystyle x\in U}$, то ${\displaystyle f}$ є відкритим відображенням.
• Неперервне й локально ін'єктивне відображення між двома n-вимірними топологічними многовидами є відкритим.
• Проекції у локально тривіальних розшаруваннях і накриття завжди є відкритими відображеннями.
• Відповідно до теореми про інваріантність відкритих множин у евклідовому просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$ для кожної відкритої підмножини ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ та кожного ін'єктивного неперервного відображення ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$ образ відображення ${\displaystyle f(U)\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ є відкритою підмножиною ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, а ${\displaystyle f}$ є гомеоморфізмом між ${\displaystyle U}$ і ${\displaystyle f(U),}$ зокрема відкритим відображенням.
• Якщо G є топологічною групою і H її підгрупою то відображення на факторпростір ${\displaystyle f:G\to G/H}$ є відкритим.

• Замкнуте відображення
• Неперервне відображення

• Gaal, Steven A.(2009), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 (англ.)
• James, I. M. (1984). General Topology and Homotopy Theory. Springer-Verlag. ISBN 9781461382836. (англ.)
• Munkres, James R. (2000). Topology (вид. 2nd). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2. (англ.)
• Naber, Gregory L. (2012). Topological Methods in Euclidean Spaces. Cambridge University Press. ISBN 9780521296328. (англ.)