Аксіома Архімеда

Нехай ${\displaystyle G}$ — лінійно впорядкована група, ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ — додатні елементи ${\displaystyle G}$. Елемент ${\displaystyle a}$ називається нескінченно малим по відношенню до елемента ${\displaystyle b}$ (а ${\displaystyle b}$ — нескінченно великим по відношенню до ${\displaystyle a}$), якщо для будь-якого натурального ${\displaystyle n}$ має місце нерівність

${\displaystyle \underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}<b}$

Група ${\displaystyle G}$ називається архімедовою, якщо для неї виконується аксіома Архімеда: у ${\displaystyle G}$ не існує пари елементів ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, таких що ${\displaystyle a}$ — нескінченно мале по відношенню до ${\displaystyle b}$.

Нехай ${\displaystyle K}$ — впорядковане поле. Оскільки всяке упорядковане поле є лінійно впорядкованою групою, то всі вищенаведені визначення нескінченно малого і нескінченно великого елементів, а також формулювання аксіоми Архімеда зберігають силу. Однак тут є ряд специфічних особливостей, завдяки яким формулювання аксіоми Архімеда спрощується.

Нехай ${\displaystyle a,b}$ — додатні елементи ${\displaystyle K}$.

• елемент ${\displaystyle a}$ нескінченно малий по відношенню до елемента ${\displaystyle b}$, тоді й тільки тоді, коли елемент ${\displaystyle a/b}$ нескінченно малий по відношенню до ${\displaystyle 1\in K}$ (такі елементи називаються просто, нескінченно малими)
• елемент ${\displaystyle a}$ нескінченно великий по відношенню до елемента ${\displaystyle b}$, тоді й тільки тоді, коли елемент ${\displaystyle a/b}$ нескінченно великий по відношенню до ${\displaystyle 1\in K}$ (такі елементи називаються просто, нескінченно великими)

Нескінченно малі і нескінченно великі елементи об'єднуються під назвою інфінітезимальних елементів.

Відповідно формулювання аксіоми Архімеда спрощується: упорядковане поле ${\displaystyle K}$ має властивість Архімеда, якщо в ньому немає нескінченно малих елементів, або, еквівалентно, якщо в ньому немає нескінченно великих елементів. Якщо тут розгорнути визначення нескінченно малого (або нескінченно великого) елемента, то отримаємо наступне формулювання аксіоми Архімеда:

Для всякого елемента ${\displaystyle a}$ поля ${\displaystyle K}$ існує натуральний елемент ${\displaystyle n}$, такий що ${\displaystyle n>a}$

Або, еквівалентне формулювання,

Для будь-якого додатного елемента поля ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує натуральний елемент ${\displaystyle n}$, такий що ${\displaystyle 1/n<\varepsilon }$

Найвідоміший приклад архімедового поля — множина дійсних чисел. Якщо розглядати множину дійсних чисел як поповнення множини раціональних (наприклад, за допомогою дедекіндових перерізів), то властивість Архімеда для дійсних чисел випливає з того, що її мають раціональні числа. У зв'язку з цим слід зазначити, що в одній з систем аксіом дійсних чисел, яка була запропонована Гільбертом[3], множина дійсних чисел визначається як максимальне архімедове упорядковане поле, тобто упорядковане поле, яке задовольняє аксіомі Архімеда (тобто не містить інфінітезімальних елементів), яке не можна розширити до більшого архімедового впорядкованого поля.

Як приклад (вірніше, контрприклад) впорядкованого поля, для якого не виконана аксіома Архімеда, розглянемо множину раціональних функцій з дійсними коефіцієнтами, тобто функцій виду

${\displaystyle R(x)={\frac {a_{n}x^{n}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+\ldots +b_{1}x+b_{0}}}}$

Відносно звичайних операцій додавання і множення ця множина утворює поле. Введемо відношення порядку на сукупності раціональних функцій наступним чином. Нехай ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ — дві раціональні функції. Ми скажемо, що ${\displaystyle f>g}$, якщо і тільки якщо у деякому околі ${\displaystyle +\infty }$ різниця ${\displaystyle f-g}$ має строго додатній знак. Цю умову можна сформулювати і в термінах коефіцієнтів раціональних функцій ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$. Запишемо різницю ${\displaystyle f-g}$ у вигляді многочлен + правильний раціональний дріб:

${\displaystyle f(x)-g(x)=a_{n}x^{n}+\ldots +a_{1}x+a_{0}+{\frac {b_{m}x^{m}+\ldots +b_{1}x+b_{0}}{c_{k}x^{k}+\ldots +c_{1}x+c_{0}}}}$

де другий доданок в правій частині — правильний раціональний дріб, тобто степінь чисельника менше степеня знаменника: ${\displaystyle m<k}$. Будем також вважати що старший коефіцієнт знаменника ${\displaystyle c_{k}}$ рівний ${\displaystyle 1}$. Тоді ${\displaystyle f>g}$ тоді й тільки тоді, коли або ${\displaystyle a_{n}>0}$, або поліноміальної частини немає і ${\displaystyle b_{m}>0}$. Нескладно перевірити коректність цього визначення порядку (слід перевірити як те, що введене відношення дійсно є відношенням порядку, і що це відношення узгоджене з операціями поля).

Таким чином, множина раціональних функцій утворює впорядковане поле. Зауважимо, що воно є розширенням поля дійсних чисел, але аксіома Архімеда тут не має місця (див. кінець попереднього розділу). Справді, розглянемо елементи ${\displaystyle 1}$ і ${\displaystyle x}$. Очевидно, яким би не було натуральне число ${\displaystyle n}$, має місце нерівність:

${\displaystyle \underbrace {1+1+\ldots +1} _{n}=n\cdot 1<x}$

Іншими словами, ${\displaystyle x}$ — нескінченно великий елемент поля. Тим самим аксіома Архімеда у цьому полі не має місця.