Аксіома булеана

Аксіома існування булеана (аксіома множини підмножин) формулюється так: «з будь-якої множини можна утворити булеан, тобто таку множину ${\displaystyle ~d}$, яка складається з усіх власних і невласних підмножин ${\displaystyle ~b}$ даної множини ${\displaystyle ~a}$». Згідно з теорією множин математично ця аксіома записується так:

${\displaystyle ~\forall a\;\exists d\;\forall b\;(b\in d\iff \forall c\;(c\in b\Rightarrow c\in a)\ )}$

В аксіомі булеана вказаний тип множин (підмножини множини ${\displaystyle ~a}$), які повинні бути елементами утвореної множини ${\displaystyle ~d}$. Разом з тим, аксіома булеана не містить алгоритму знаходження всіх елементів утвореної множини ${\displaystyle ~d}$.

Аксіому булеана можна вивести з наступних висловлювань:

• ${\displaystyle ~\exists d\;\forall b\;(b\subseteq a\Rightarrow b\in d)}$

• ${\displaystyle ~\forall d\;\exists c\;\forall b\;(b\in c\iff b\in d\land b\subseteq a)}$

Перше з цих висловлювань - один з наслідків аксіоми булеана, а друге - одна з конкретизацій схеми виділень.

Керуючись аксіомою об'ємності, можна довести єдиність булеана для кожної множини ${\displaystyle ~a}$. Інакше кажучи, можна довести, що аксіома булеана рівносильна висловлюванню:

${\displaystyle ~\forall a\;\exists !d\;\forall b\;(b\in d\iff b\subseteq a)}$, що є ${\displaystyle ~\forall a\;\exists d\;(d=\{b:b\subseteq a\}\quad \land \quad \forall d'\;(d'\neq d\to d'\neq \{b:b\subseteq a\})\ )}$.