Алгебраїчна теорія чисел

Початки теорії алгебраїчних чисел можна простежити до рівнянь Діофанта[1], названих на честь математика Александрії III століття Діофанта, який вивчав їх і розробив методи розв'язання деяких видів діофантових рівнянь. Типовою проблемою діофантових рівнянь є пошук двох цілих чисел x та y таких, що їх сума та сума їх квадратів дорівнюють двом заданим числам A і B, відповідно:

${\displaystyle A=x+y}$

${\displaystyle B=x^{2}+y^{2}}$

Діофантові рівняння вивчалися протягом тисячоліть. Наприклад, розв'язок квадратного рівняння Діофанта x² + y² = z² даються піфагоровій трійці, спочатку вирішеними вавилонянами (близько 1800 до н. е.)[2]. Розв'язок лінійних діофантових рівнянь, наприклад 26x + 65y = 13, можна знайти за допомогою евклідового алгоритму (V століття до н. е.)[3].

Основною роботою Діофанта була арифметика, з якої вижила лише частина.

Велика теорема Ферма була вперше вигадана П'єром де Ферма в 1637 році. До 1995 року не було видано жодних успішних доказів, незважаючи на зусилля безлічі математиків протягом 358 років. Нерозв'язана проблема стимулювала розвиток теорії алгебраїчних чисел у XIX столітті та доказ теореми модульності в ХХ столітті.

Один з основоположних робіт теорії алгебраїчних чисел — Disquisitiones Arithmeticae[4](арифметичні дослідження) — це підручник теорії чисел, написаний латинською Карлом Фрідріхом Гауссом 1798 року, коли Карлу було 21 і вперше опубліковано 1801 року, коли йому було 24 роки. У цій книзі Гаусс об'єднує результати в теорії чисел, отримані математиками, такими як Ферма, Ейлер, Лагранж та Лежандр, і додає нові важливі результати. До публікації досліджень, теорія чисел полягала в зборі ізольованих теорем і припущень. Гаусс об'єднав роботу своїх попередників разом з власною оригінальною роботою в систематизовану структуру, заповнив прогалини, виправив недобросовісні докази та розширив тему по-різному.

Дослідження стали відправною точкою для роботи інших європейських математиків дев'ятнадцятого сторіччя, зокрема Ернста Кумера, Йогана Петера Густава Леджена-Дірихле та Річарда Дедекінда. Багато анотацій, наданих Гаусом, фактично є анонсуваннями його подальших досліджень, деякі з яких залишаються неопублікованими. Вони, здається, були особливо загадковими для сучасників; Тепер ми можемо їх прочитати як містять мікроорганізми теорій L-функцій та комплексного множення, зокрема.

У деяких документів 1838 та 1839 років Йоган Петер Густав Леджена-Дірихле довів формулу першого класу для квадратичних форм (пізніше його удосконалив його студент Леопольд Кронекер). Формула, яку Якобі називав результатом «торкаючись максимально людської схильності», відкрили шлях до подібних результатів щодо більш загальних чисельних полів. На основі його дослідження структури одиничної групи квадратичних полів він довів теорему Дірихле, фундаментальний результат в теорії алгебраїчних чисел[5].

Він вперше застосував принцип голубів і кліток, основний аргумент для підрахунку, в доказі теореми в діофантовому наближенні, згодом назвав його теорією наближення Дірихле. Він опублікував важливий внесок у останню теорему Ферма, за яку він довів випадки n = 5 і n = 14, а також закону дворівневої взаємності. Проблема дільника Дірихле, за яку він знайшов перші результати, все ще залишається невирішеною проблемою в теорії чисел, незважаючи на подальші вклади інших дослідників.