Леонард Ейлер

Ейлер ввів та спопуляризував у своїх популярних на той час підручниках декілька позначень. Зокрема, він представив концепцію функції[10] і вперше написав f(x), щоб позначити функцію f застосовану до аргументу x. Він також ввів сучасні позначення тригонометричних функцій, букву e як основу натурального логарифму (зараз відома також як число Ейлера), грецьку літеру Σ для суми і букву i, щоб позначити уявну одиницю[14]. Використання грецької літери π, щоб позначити відношення довжини кола до його діаметра було також спопуляризоване Ейлером, хоча не було ним придумане[15].

У 18-му столітті відбувався значний прогрес аналізу нескінченно малих. Завдяки впливу Бернуллі (друзів сім'ї Ейлерів), дослідження у цьому напрямі стали основними в роботах Ейлера. Хоча деякі з доказів Ейлера не є прийнятними за сучасними стандартами математичної строгості[16], його ідеї призвели до значного прогресу.

Ейлер добре відомий у аналізі з частого використання і розвитку степеневих рядів, які виражають функцію у вигляді суми нескінченної кількості степеневих функцій, наприклад

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right).}$

Саме Ейлер прямо довів розклад у ряд експоненти і арктангенса (непряме доведення через обернені степеневі ряди було дане Ньютоном і Лейбніцом між 1670 і 1680 роками). Використання ним степеневих рядів дозволило розв'язати в 1735 році знамениту Базельську проблему[16] (строгіше доведення було ним здійснено в 1741 році):

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$

Геометрична інтерпретація формули Ейлера

Ейлер започаткував використання в аналітичних доведеннях експоненти і логарифмів. Йому вдалося розкласти в степеневий ряд логарифмічну функцію і, за допомогою цього розкладу, визначити логарифми для від'ємних і комплексних чисел[14]. Він також розширив множину визначення експоненційної функції на комплексні числа, і виявив зв'язок експоненти з тригонометричними функціями. Формула Ейлера стверджує, що для будь-якого дійсного числа ${\displaystyle x}$ виконується рівність:

${\displaystyle ~e^{ix}=\cos x+i\sin x}$.

Частковим випадком формули Ейлера при ${\displaystyle x=\pi }$ є тотожність Ейлера, що пов'язує п'ять фундаментальних математичних констант:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$,

названою Річардом Фейнманом «найчудовішою математичною формулою».[17]. У 1988 році читачі журналу Mathematical Intelligencer у голосуванні назвали її «найкрасивішою математичною формулою всіх часів»[18].

Наслідком Формули Ейлера є формула Муавра.

Крім того, Ейлер розробив теорію спеціальних трансцендентних функцій, увівши гамма-функцію й представив нові методи розв'язку рівняння четвертого степеня. Він також знайшов спосіб обчислення інтегралів з комплексними межами, що випереджувало розвиток сучасного комплексного аналізу, і започаткував варіаційне числення, в тому числі отримав його найвідоміший результат, рівняння Ейлера — Лагранжа .

Ейлер також був піонером у використанні аналітичних методів розв'язування задач теорії чисел. Таким чином, він об'єднав дві розрізнені області математики і впровадив нову галузь досліджень, аналітичну теорію чисел. Початком було створенням Ейлером теорії гіпергеометричних рядів, Q-Series, гіперболічних тригонометричних функцій та аналітичної теорії узагальнених дробів. Наприклад, він довів нескінченність простих чисел за допомогою розбіжності гармонічного ряду, використовував методи аналізу, щоб довідатися про розподіл простих чисел. Ейлерові роботи в цій галузі призвели до появи теореми про розподіл простих чисел[19].

Зацікавлення Ейлера теорією чисел можна пояснити впливом Християна Ґольдбаха, друга з Санкт-Петербурзької Академії. Багато ранніх робіт Ейлера з теорії чисел базувалось на роботах П'єра Ферма. Ейлер опрацював деякі ідеї Ферма, і спростував деякі з його припущень.

Ейлер пов'язав характер розподілу простих чисел з ідеями з аналізу. Він довів, що сума обернених до простих чисел розходиться. У цей спосіб він виявив зв'язок між дзета-функцією Рімана і простими числами, результат відомий як «тотожність Ейлера у теорії чисел».

Ейлер довів тотожності Ньютона, малу теорему Ферма, теорему Ферма про суми двох квадратів, зробив значний внесок в теорему Лагранжа про чотири квадрати. Він також винайшов функцію Ейлера φ(N), яка дорівнює кількості додатних чисел, що не перевищують натурального N і які є взаємно прості з N. Використовуючи властивості цієї функції, він узагальнив малу теорему Ферма до того, що зараз називається теоремою Ейлера. Він зробив значний внесок у теорію досконалих чисел, якою математики були зачаровані з часів Евкліда. Ейлер також досяг прогресу в напрямку теореми про розподіл простих чисел і висунув гіпотезу квадратичної взаємності. Ці два поняття розглядаються як основні теореми теорії чисел, а його ідеї підготували ґрунт для робіт Гауса[20].

До 1772 року Ейлер довів, що 2³¹ − 1 = 2 147 483 647 є числом Мерсенна. Правдоподібно, це число було найбільшим відомим простим до 1867 року[21].

Карта Кенігсберга з часів Ейлера, показано фактичне розташування семи мостів через річку Преголя.

У 1736 році, Ейлер розв'язав проблему, відому як Сім мостів Кеніґсберґа[22]. Місто Кенігсберг (сьогодні Калінінград) в Пруссії розташоване на річці Преголя і включає два великі острови, які були пов'язані один з одним і з материком сімома мостами. Проблема полягає в тому, чи можна знайти шлях, який проходить кожним мостом рівно один раз і повертається до початкової точки. Відповідь є негативна: немає циклу Ейлера. Це твердження вважається першою теоремою теорії графів, зокрема, в теорії планарних графів[22].

Ейлер також довів формулу V − E + F = 2, що пов'язує число вершин, ребер і граней опуклого многогранника[23], а отже, і планарних графів (для планарних графів V − E + F = 1). Ліва сторона формули, відома тепер як ейлерова характеристика графа (або іншого математичного об'єкта), пов'язана з поняттям роду поверхні[24].

Вивчення та узагальнення цієї формули, зокрема Коші[25] та Люїльє[26] були початками топології.

Серед найбільших успіхів Ейлера були аналітичні розв'язки практичних задач, опис численних застосувань чисел Бернуллі, рядів Фур'є, діаграм Венна (відомі також як круги Ейлера), чисел Ейлера, констант е і π, ланцюгових дробів і інтегралів.

Він поєднав диференціальне числення Лейбніца з Ньютонівським методом флюксій, і створив інструменти, які зробили застосування аналізу до фізичних проблем простішим. Він добився великих успіхів у вдосконаленні чисельного наближення інтегралів, винайшов те, що в наш час^[коли?] відоме як метод Ейлера та формула Ейлера-Маклорена. Він також сприяв використанню диференціальних рівнянь, зокрема, вводячи сталу Ейлера-Маскероні:

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right).}$

Одним з найбільш незвичних інтересів Ейлера було застосування математичних ідей в музиці. У 1739 році він написав Tentamen novae theoriae musicae, сподіваючись врешті-решт долучити музичну теорію до математики. Ця частина його роботи, проте, не набула широкої уваги і була одного разу названа «занадто математичною для музикантів і дуже музичною для математиків»[27].

Леонард Ейлер зробив значний внесок у розвиток механіки, зокрема у розв'язок задачі про обертання абсолютно твердого тіла. Підхід Ейлера пов'язаний із поняттями Ейлерових кутів та кінематичних рівнянь Ейлера. В 1757 Ейлер опублікував мемуар «Principes generaux du mouvement des fluides» (Загальні принципи руху флюїдів), в якому записав рівняння руху нестисливої ідеальної рідини, що отримали назву рівнянь Ейлера. Результатом праці над задачею про деформацію бруса при навантаженні стали рівняння Ейлера-Бернуллі, які згодом знайшли застосування в інженерній науці, зокрема при проектуванні мостів.

Ейлер працював над загальними проблемами механіки, розвиваючи принцип Мопертюї. Основні рівняння лагранжевої механіки часто називають рівняннями Ейлера-Лагранжа.

Ейлер застосовував розроблені математичні методи для розв'язку проблем небесної механіки. Його праці в цій області отримали кілька нагород Паризької академії наук. Серед його досягнень визначення з великою точністю орбіт комет та інших небесних тіл, пояснення природи комет, розрахунок паралаксу Сонця. Розрахунки Ейлера стали значним внеском у розробку точних таблиць широт[28].

Важливе значення для свого часу мав внесок Ейлера в оптику. Він заперечував панівну тоді корпускулярну теорію світла Ньютона. Праці Ейлера впродовж 1740-х років допомогли утвердитися хвильовій теорії світла Християна Гюйгенса[29].

Велика частина астрономічних творів Ейлера присвячена актуальним на той час питанням небесної механіки, а також сферичній, практичній і морехідній астрономії, теорії припливів, теорії астрономічного клімату, рефракції світла в земній атмосфері, паралаксу і аберації, обертанню Землі. У області небесної механіки Ейлер вніс істотний внесок у теорію збуреного руху. Ще в 1746 він обчислив збурення Місяця і опублікував місячні таблиці. Одночасно з А. К. Клеро і Ж. Л.Д'Аламбером і незалежно від них Ейлер розробляв загальні теорії руху Місяця, в яких він досліджувався з вельми високою точністю. Перша теорія, в якій застосовано метод розкладання шуканих координат до лав за ступенями малих параметрів і дана часткова розробка аналітичного методу варіації елементів орбіти, була опублікована у 1753. Ця теорія була використана Т. Й. Маєром при складанні високоточних таблиць руху Місяця. Досконаліша аналітична теорія, в якій дано чисельний розвиток методу і обчислені таблиці, викладена в роботі, виданої в Петербурзі в 1772 латинською мовою. Її скорочений переклад на російську мову під назвою «Нова теорія руху Місяця» був виконаний О. М. Криловим і виданий у 1934. Обчислювальні методи, запропоновані Ейлером для отримання точних ефемерид Місяця і планет, зокрема запроваджені ним прямокутні рівномірно обертаються осі координат, були широко використані згодом Дж. В.Гіллом. За висловом М. Ф. Суботіна, вони стали одним з найважливіших джерел подальшого прогресу всієї небесної механіки. Широкі можливості для застосування цих методів виникли з появою ЕОМ. Сучасна точна і повна теорія руху Місяця була створена в 1895–1908 Е. В. Брауном. Роботи Ейлера і Гілла дали початок загальної теорії нелінійних коливань, що грає велику роль в сучасних науці і техніці.

Важливе значення для астрономії мала праця Ейлера «Про поліпшення об'єктивного скла зорових труб» (1747), в якій він показав, що, комбінуючи дві лінзи зі скла з різною заломлюючою здатністю, можна створити ахроматичний об'єктив. Під впливом роботи Ейлера перший об'єктив такого роду був виготовлений англійською оптиком Дж. Доллондом в 1758.