Цілі числа

Наведена таблиця ілюструє основні властивості додавання[13] для будь-яких цілих ${\displaystyle a,b,c}$:

Властивість	Алгебраїчна запис
Комутативність	${\displaystyle a+b=b+a}$
Асоціативність	${\displaystyle a+\left(b+c\right)=\left(a+b\right)+c}$
Властивість нуля	${\displaystyle a+0=a}$
Властивість протилежного елемента	${\displaystyle a+\left(-a\right)=0}$

При додаванні і відніманні цілих чисел виконуються такі правила знаків[14], які слід враховувати при розкритті дужок:

${\displaystyle -\left(-a\right)=a;\ -\left(a+b\right)=-a-b;\ -\left(a-b\right)=-a+b.}$

Правила додавання цілих чисел[15].

1. При додаванні цілих чисел з однаковими знаками треба додати їхні абсолютні величини і приписати результату знак доданків. Приклад; ${\displaystyle -14+\left(-28\right)=-42}$.
2. При додаванні цілих чисел з різними знаками, треба порівняти їхні абсолютні величини, від більшої відняти меншу і приписати результату знак того доданка, у якого абсолютна величина більша. Приклади: ${\displaystyle -4+9=9-4=5;\ -9+4=-\left(9-4\right)=-5}$.
3. Віднімання ${\displaystyle a-b}$ для цілих чисел завжди можна виконати, і результат можна знайти як ${\displaystyle a+\left(-b\right).}$ Приклад: ${\displaystyle 26-51=26+\left(-51\right)=-25}$.
4. Геометрично додавання можна наочно уявити як зсув числа вздовж числової осі (див. малюнок на початку статті), причому додавання додатного числа викликає зсув праворуч, а від'ємного — ліворуч. Наприклад, для числа ${\displaystyle -3}$ додавання до нього ${\displaystyle 4}$ означає зсув вправо на 4 одиниці; наочно видно, що виходить ${\displaystyle +1}$. Аналогічно ${\displaystyle -3+\left(-4\right)}$, зміщуючи ${\displaystyle -3}$ вліво на 4 одиниці, отримаємо в результаті ${\displaystyle -7}$.
5. Віднімання можна наочно уявити аналогічно, але в цьому випадку, навпаки, віднімання додатного числа викликає зсув вліво, а від'ємного — вправо. Наприклад, ${\displaystyle 5-7}$ зміщує ${\displaystyle 5}$ на 7 одиниць — до числа ${\displaystyle -2}$, а ${\displaystyle 5-\left(-7\right)}$ зміщує його вправо — до числа ${\displaystyle 12}$.

Множення чисел ${\displaystyle a,b}$ далі позначається ${\displaystyle a\times b}$ або (тільки у разі буквених позначень) просто ${\displaystyle ab}$. У таблиці описано основні властивості множення для будь-яких цілих ${\displaystyle a,b,c}$:

Властивість	Алгебраїчна запис
Комутативність	${\displaystyle a\times b=b\times a}$
Асоціативність	${\displaystyle a\times \left(b\times c\right)=\left(a\times b\right)\times c}$
Властивість одиниці	${\displaystyle a\times 1=a}$
Властивість нуля	${\displaystyle a\times 0=0}$
Дистрибутивність множення відносно додавання	${\displaystyle a\times \left(b+c\right)=a\times b+a\times c}$

При множенні цілих чисел виконуються правила знаків[14], які слід враховувати, розкриваючи дужки:

${\displaystyle \left(-a\right)b=a\left(-b\right)=-ab;\ \left(-a\right)\left(-b\right)=ab}$

Наслідок: добуток чисел з однаковими знаками додатний, з різними — від'ємний.

Піднесення до натурального степеня цілих чисел визначається так само, як і для натуральних чисел:

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n}}$

Властивості піднесення до степеня цілих чисел також такі самі, як у натуральних:

${\displaystyle \left(ab\right)^{n}=a^{n}b^{n};\quad a^{m}a^{n}=a^{m+n};\quad \left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}}$

На доповнення до цього визначення, прийнято угоду про нульовий степінь: ${\displaystyle a^{0}=1}$ для будь-якого цілого ${\displaystyle a.}$ Підставою для такої угоди служить бажання зберегти наведені вище властивості і для нульового показника степеня: ${\displaystyle a^{0}a^{n}=a^{0+n}=a^{n},}$ звідки ясно, що ${\displaystyle a^{0}=1.}$

${\displaystyle \mathbb {Z} }$ — лінійно впорядкована множина. Порядок у ній задається співвідношеннями:

${\displaystyle \dots -2<-1<0<1<2<\dots }$

Ціле число додатне, якщо воно більше від нуля, від'ємне, якщо менше від нуля. Додатними цілими числами є натуральні числа і тільки вони. Від'ємні числа — це числа, протилежні додатним. Нуль не є ані додатним, ані від'ємним. Будь-яке від'ємне число менше від будь-якого додатного.

Для будь-яких цілих чисел ${\displaystyle a,b,c,d}$ справедливі такі співвідношення[16].

1. Якщо ${\displaystyle a<b}$, то для будь-якого ${\displaystyle c}$ буде ${\displaystyle a+c<b+c}$.
2. Якщо ${\displaystyle a<b}$ і ${\displaystyle c<d}$, то ${\displaystyle a+c<b+d}$.
3. Якщо ${\displaystyle a<b}$ і ${\displaystyle c>0}$, то ${\displaystyle ac<bc}$.
4. Якщо ${\displaystyle a<b}$ і ${\displaystyle c<0}$, то ${\displaystyle ac>bc}$.

Для порівняння двох від'ємних чисел існує правило: більше те число, в якого абсолютна величина менша. Наприклад, ${\displaystyle -6<-5}$.

Операція ділення, взагалі кажучи, не визначена на множині цілих чисел. Наприклад, не можна поділити ${\displaystyle 3}$ на ${\displaystyle 2}$ — немає такого цілого числа, яке, помножене на ${\displaystyle 2}$, дасть ${\displaystyle 3}$. Але можна визначити так зване ділення з остачею[17]:

Для будь-яких цілих ${\displaystyle a,b}$ (де ${\displaystyle b\neq 0}$) існує єдиний набір цілих чисел ${\displaystyle q,r}$ такий, що ${\displaystyle a=bq+r}$, де ${\displaystyle 0\leqslant r<\left|b\right|.}$

Тут a — ділене, b — дільник, q — (неповна) частка, r — остача від ділення (завжди невід'ємна). Якщо остача дорівнює нулю, кажуть, що ділення виконується націло[17].

Приклади

• При діленні з остачею додатного числа ${\displaystyle a=78}$ на ${\displaystyle b=33}$ отримуємо неповну частку ${\displaystyle q=2}$ і остачу ${\displaystyle r=12}$. Перевірка: ${\displaystyle 78=33\times 2+12.}$
• При діленні з остачею від'ємного числа ${\displaystyle a=-78}$ на ${\displaystyle b=33}$ отримуємо неповну частку ${\displaystyle q=-3}$ і остачу ${\displaystyle r=21}$. Перевірка: ${\displaystyle -78=33\times (-3)+21.}$
• При діленні з остачею числа ${\displaystyle a=78}$ на ${\displaystyle b=26}$ отримуємо частку ${\displaystyle q=3}$ і остачу ${\displaystyle r=0}$, тобто ділення виконується націло. Для швидкого з'ясування, чи ділиться задане число ${\displaystyle a}$ на (невелика) число ${\displaystyle b}$ існують ознаки подільності.

На операції ділення з остачею ґрунтуються теорія порівнянь і алгоритм Евкліда.

Як визначено вище, число ${\displaystyle a}$ ділиться (націло) на число ${\displaystyle b}$якщо існує ціле число ${\displaystyle q}$ таке, що ${\displaystyle a=bq}$. Символічний запис: ${\displaystyle b|a}$. Існують кілька рівносильних словесних формулювань зазначеної подільності[18]:

• ${\displaystyle a}$ ділиться (націло) на ${\displaystyle b}$.
• ${\displaystyle b}$ є дільником ${\displaystyle a}$ (або: ${\displaystyle b}$ ділить ${\displaystyle a}$).
• ${\displaystyle a}$ кратне ${\displaystyle b}$.

Кожне ціле число ${\displaystyle n}$, не рівне нулю або ${\displaystyle \pm 1}$має 4 тривіальні дільники: ${\displaystyle 1,-1,n,-n}$. Якщо інших дільників немає, число називається простим[19].

Поняття найбільшого спільного дільника двох цілих чисел, розкладання цілого числа на прості множники і основна теорема арифметики цілих чисел практично збігаються (з можливим урахуванням знака) з аналогами цих понять для натуральних чисел[20].

Позначки цілих значень температури на шкалі термометра

Цілі числа широко застосовуються при дослідженні об'єктів, які за своєю природою або за особливостями постановки задачі неподільні (наприклад, люди, кораблі, будівлі, іноді дні і т. ін.). Від'ємні числа також можуть знайти застосування в таких моделях — скажімо, при плануванні торговельних угод можна продажі позначати додатними числами, а купівлі — від'ємними. Приклад з фізики — квантові числа, що грають фундаментальну роль у мікросвіті; всі вони — цілі (або напівцілі) числа зі знаком[23].

Для розв'язання задач, що виникають при цьому, розроблені спеціальні математичні методи, що враховують специфіку проблем. Зокрема, розв'язування в цілих числах алгебраїчних рівнянь (різних степенів) розглядає теорія «діофантових рівнянь»[24]. Питання цілочисельної оптимізації досліджує цілочисельне програмування[25].

Тип ціле число — найчастіше один з основних типів даних у мовах програмування. Цілі типи даних зазвичай реалізуються як фіксований набір бітів, один з яких кодує знак числа, а інші — двійкові цифри. Сучасні комп'ютери мають багатий набір команд для арифметичних операцій з цілими числами[26].

Найпростіше визначити аксіоматику множини цілих чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$якщо спиратися на вже побудовану множину натуральних чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ (яка вважається несуперечливою, а властивості її — відомими). А саме, визначимо ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ як мінімальне кільце, що містить множину натуральних чисел. Більш строго, аксіоми цілих чисел такі[31] [32].

Z1: Для будь-яких цілих чисел ${\displaystyle a,b}$ визначена їх сума ${\displaystyle a+b}$.

Z2: Додавання комутативне: ${\displaystyle a+b=b+a}$. Для скорочення, фразу «для будь-яких ${\displaystyle a,b\dots }$» далі, як правило, опускаємо.

Z3: Додавання асоціативне: ${\displaystyle \left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right).}$

Z4: Існує елемент 0 (нуль) такий, що ${\displaystyle a+0=a}$.

Z5: Для будь-якого цілого числа ${\displaystyle a}$ існує протилежний йому елемент ${\displaystyle -a}$ такий, що ${\displaystyle a+\left(-a\right)=0.}$

Z6: Для будь-яких цілих чисел ${\displaystyle a,b}$ визначено їх добуток ${\displaystyle ab}$.

Z7: Множення асоціативне: ${\displaystyle \left(ab\right)c=a\left(bc\right).}$

Z8: Множення пов'язане з додаванням розподільними (дистрибутивними) законами: ${\displaystyle \left(a+b\right)c=ac+bc;\ c\left(a+b\right)=ca+cb.}$

Z9: Множина цілих чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ містить підмножину, ізоморфну множині натуральних чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Для спрощення далі цю підмножину позначено тією ж буквою ${\displaystyle \mathbb {N} }$.

Z10 (аксіома мінімальності): нехай ${\displaystyle M}$ — підмножина ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, що включає ${\displaystyle \mathbb {N} }$ і така, що операція віднімання не виводить за межі ${\displaystyle M}$. Тоді ${\displaystyle M}$ збігається зі всією ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

З цих аксіом випливають як наслідки всі інші властивості цілих чисел, зокрема комутативність множення, упорядкованість, правила ділення націло і ділення з остачею[33]. Покажемо, наприклад, як уводиться порядок цілих чисел. Будемо говорити, що ${\displaystyle a<b}$, якщо ${\displaystyle b-a}$ є натуральне число. Аксіоми порядку легко перевіряються. З визначення відразу випливає, що всі натуральні числа більші від нуля (додатні), а всі протилежні їм — менші від нуля (від'ємні). Для натуральних чисел новий порядок збігається зі старим[34].

Наведена аксіоматика цілих чисел категорична, тобто будь-які її моделі ізоморфні як кільця[35].

Стандартний спосіб довести несуперечність нової структури — змоделювати (інтерпретувати) її аксіоми за допомогою об'єктів іншої структури, чия несуперечність сумнівів не викликає. У нашому випадку ми повинні реалізувати ці аксіоми на базі пар натуральних чисел[36].

Розглянемо всі можливі впорядковані пари натуральних чисел ${\displaystyle \left(a,b\right)}$. Щоб сенс подальших визначень став зрозумілим, відразу пояснимо, що ми маємо намір надалі кожну таку пару розглядати як ціле число ${\displaystyle a-b,}$ наприклад, пари ${\displaystyle \left(3,2\right)}$ або ${\displaystyle \left(6,5\right)}$ будуть зображати одиницю, а пари ${\displaystyle \left(1,4\right)}$ або ${\displaystyle \left(8,11\right)}$ зображатимуть ${\displaystyle -3.}$

Далі визначимо[37]:

1. Пари ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ і ${\displaystyle \left(c,d\right)}$ вважаються рівними, якщо ${\displaystyle a+d=b+c}$. Це пов'язано з тим, що, як показано в прикладах, будь-яке ціле число можна подати нескінченним числом пар.
2. Додавання: сума пар ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ і ${\displaystyle \left(c,d\right)}$ визначається як пара ${\displaystyle \left(a+c,b+d\right)}$.
3. Множення: добуток пар ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ і ${\displaystyle \left(c,d\right)}$ визначається як пара ${\displaystyle \left(ac+bd,ad+bc\right)}$.

Неважко перевірити, що результати додавання і множення не змінюються, якщо будь-яку пару ми замінимо на рівну їй, тобто нова пара-результат буде рівною попередній (у зазначеному визначенням 1 сенсі рівності). Неважко також переконатися, що описана структура пар задовольняє всьому наведеному переліку аксіом цілих чисел. Додатні числа моделюються парами ${\displaystyle \left(a,b\right)}$, яких ${\displaystyle a>b}$, нуль зображують пари виду ${\displaystyle \left(a,a\right)}$, а пари ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ з ${\displaystyle a<b}$ відповідають від'ємним числам.

Ця модель дозволяє прояснити, як з аксіом цілих чисел однозначно випливають їх властивості; покажемо це для «правила знаків». Наприклад, помноживши два «від'ємні числа» ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ і ${\displaystyle \left(c,d\right)}$, у яких ${\displaystyle a<b,\ c<d}$ми за визначенням отримаємо пару ${\displaystyle \left(ac+bd,ad+bc\right)}$. Різниця ${\displaystyle ac+bd-\left(ad+bc\right)}$ дорівнює ${\displaystyle \left(b-a\right)\left(d-c\right)}$, це число додатне, тому пара-добуток зображує додатне ціле число, отже, добуток від'ємних чисел додатний. Будь-яке інше правило (скажімо, «добуток від'ємних чисел від'ємний») зробило б теорію цілих чисел суперечливою.

Описана модель доводить, що наведена аксіоматика цілих чисел несуперечлива. Тому що якби у ній була суперечність, то це означало б суперечність і в базовій для даної моделі арифметиці натуральних чисел, яку ми заздалегідь припустили несуперечливою.