Мультисекція ряду

Мультисе́кцією ря́ду називають ряд, складений із членів початкового ряду, індекси яких утворюють арифметичну прогресію.

Для ряду:

\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}\cdot x^{n}

мультисекцією є будь-який ряд вигляду:

\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{sm+d}\cdot x^{sm+d},

де s, d — цілі числа, 0 ⩽ d < s.

Мультисекція аналітичних функцій

Для мультисекції ряду аналітичної функції

F(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}\cdot x^{n}

виконується формула:

\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{sm+d}\cdot x^{sm+d}={\frac {1}{s}}\cdot \sum _{k=0}^{s-1}w^{-kd}\cdot F(w^{k}\cdot x),

(1+x)^{q}={q \choose 0}x^{0}+{q \choose 1}x+{q \choose 2}x^{2}+\dots

при x = 1 є така тотожність для суми біноміальних коефіцієнтів із кроком s:

{q \choose d}+{q \choose d+s}+{q \choose d+2s}+\dots ={\frac {1}{s}}\cdot \sum _{k=0}^{s-1}\left(2\cos {\frac {\pi k}{s}}\right)^{q}\cdot \cos {\frac {\pi (q-2d)k}{s}}.

Weisstein, Eric W. Мультисекція ряду(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Somos, M. A Multisection of q-Series, 2006.
Дж. Риордан. §4.3 Мультисекция рядов // Комбинаторные тождества = Combinatorial Identities. — М. : Наука, 1982. — С. 132—141.
Ефремов Д. Решение задачи на премию № 3 // В.О.Ф.Э.М.. — 1911. — № 530 (10 лютого). — С. 40—48.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.