Біном Ньютона

Біно́м Ньютона (двочлен Ньютона) — вираз вигляду (a+b)ⁿ. Біном розкладається в суму одночленів, які є добутками деяких степенів його доданків a і b. В шкільній програмі вивчається формула бінома Ньютона із степенями n=2 та 3:

${\displaystyle \ (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$

${\displaystyle \ (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}$

Візуалізація розкриття дужок у біномі до 4-го степеня.

Спробуємо розкласти (a+b)ⁿ в многочлен у загальному випадку n. Запишемо його у вигляді добутку, пронумерувавши дужки:

${\displaystyle {\begin{matrix}1&2&\ldots &n\\(a+b)&(a+b)&\ldots &(a+b)\end{matrix}}}$

Кожний доданок містить n множників: k множників a і (n-k) множників b, тобто має вигляд a^kb^n-k, де k≤n, k≥0. Кожний такий доданок взаємно однозначно відповідає підмножині номерів дужок, з яких для утворення цього доданка, бралися множники a. Таким чином, доданків ${\displaystyle a^{k}b^{n-k}}$ рівно стільки, скільки таких підмножин. В комбінаториці це число називається числом комбінацій з n по k і позначається ${\displaystyle C_{n}^{k}}$ або ${\displaystyle \left({\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right)}$. Отже,

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{k}b^{n-k}}$

Коефіцієнти при ${\displaystyle a^{k}b^{n-k}}$ називаються біноміальними, оскільки записуються в розкладі бінома (a+b)ⁿ.

Біноміальні коефіцієнти мають очевидну властивість симетрії:

${\displaystyle C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}}$

Розглянемо окремі випадки бінома Ньютона:

• при b=1 маємо :${\displaystyle (a+1)^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{k}}$,
• при a=b=1 маємо :${\displaystyle (1+1)^{n}=2^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}}$,
• при a= −1, b=1 маємо :${\displaystyle (-1+1)^{n}=0^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}(-1)^{k}}$.

Запишемо біноміальні коефіцієнти для початкових значень n=0, 1, …, 5 у трикутну таблицю (трикутник Паскаля):

${\displaystyle {\begin{matrix}1\\1&1\\1&2&1\\1&3&3&1\\1&4&6&4&1\\1&5&10&10&5&1\\1&6&15&20&15&6&1\end{matrix}}}$

З таблиці видно, що кожний елемент, який не є першим у своєму рядку, є сумою елемента над ним і елемента, розташованого над ним і ліворуч:

${\displaystyle C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}}$.

Доведення цього факту можливе методом математичної індукції.