Векторна міра

Векторна міра — адитивна функція множин, визначена на кільці множин зі значеннями в нормованому просторі. Є узагальненням понять міри, заряду і комплексної міри. Для векторних мір, як і для мір, визначено поняття інтегралу.

Означення

Якщо ${\mathcal {F}}$ є алгеброю множин, а $E$ - нормованим простором, то функція $\nu \colon {\mathcal {F}}\to E,$ , що задовольняє умову

\nu (A\cup B)=\nu (A)+\nu (B)

для всіх множин $A,B\in {\mathcal {F}},$ що мають порожній перетин називається векторною мірою

Якщо ${\mathfrak {M}}$ є σ-алгеброю то функція $\nu \colon {\mathfrak {M}}\to E$ називається зліченно адитивною (σ-адитивною) векторною мірою, якщо для кожної послідовності $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ множин із ${\mathfrak {M}}$ , що попарно не перетинається:

\nu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\nu (A_{n})

Варіація і напівваріація

Нехай $\nu \colon {\mathcal {F}}\to E$ є векторною мірою, а $\Pi \subset {\mathcal {F}}$ позначає різні скінченні підмножини із ${\mathcal {F}}$ і для кожної $\Pi$ її елементи попарно не перетинаються і ${\textstyle \bigcup _{P\in \Pi }=A.}$ Функція $|\nu |\colon {\mathcal {F}}\to [0,\infty ]$ задана як

|\nu |(A)=\sup \left\{\sum _{P\in \Pi }\|\nu (P)\|\colon \Pi \right\},

називається варіацією векторної міри $\nu .$

Функція $\|\nu \|\colon {\mathcal {F}}\to [0,\infty ],$ задана як

\|\nu \|(A)=\sup\{|x^{\star }\circ \nu |(A)\colon x^{\star }\in E^{\star },\|x^{\star }\|\leqslant 1\}

називається напівваріацією векторної міри $\nu .$

Векторна міра $\nu$ має скінченну варіацію якщо її на усьому просторі є скінченною.

Властивості

Якщо ${\mathfrak {M}}$ є σ-алгеброю пімножин $M,$ a $\nu \colon {\mathfrak {M}}\to \mathbb {R}$ є зліченно адитивною функцією множин, до

|\nu |=\|\nu \|=\nu ^{+}+\nu ^{-},

де

\nu ^{+},\nu ^{-},

є відповідно додатною і від'ємною варіаціями.

Варіація векторної міри є адитивною функцією множин. Варіація зліченно адитивної векторної міри є мірою.
Напівваріація векторної міри є субадитивною та монотонною функцією множин.
Якщо $\nu$ є векторною мірою, то $\|\nu \|\leqslant |\nu |.$
Векторна міра з обмеженою варіацією є зліченно адитивною тоді й лише тоді, коли її варіація є зліченно адитивною.
Нехай ${\mathfrak {M}}=\sigma ({\mathcal {F}})$ (σ-алгебра, породжена алгеброю ${\mathcal {F}}$ ). Якщо $\nu \colon {\mathfrak {M}}\to E$ є зліченно адитивною векторною мірою з обмеженою варіацією, то для кожного $A\in {\mathcal {F}}$ виконується рівність: $|\nu |_{\mathcal {F}}|(A)=|\nu |(A).$
Якщо варіація векторної міри $\nu$ є скінченною мірою, то $\nu$ є зліченно адитивною векторною мірою.
Множина значень σ-адитивної векторної міри є обмеженою.

Приклади

Зліченно адитивна векторна міра. Нехай $T\colon L_{\infty }[0,1]\to X$ є неперервним лінійним оператором. Тоді можна ввести скінченно адитивну міру значення якої lля кожної вимірної (у сенсі Лебега) множини $A\subset [0,1]$ є рівним:

\nu (A)=T(\chi _{A}),

де

\chi _{A}

— характеристична функція. Також для кожного

A\subset [0,1]

\|\nu (A)\|\leqslant l(A)\|T\|,

де

l

— міра Лебега.

Тоді також

\|\nu \|(A)\leqslant l(A)\|T\|,

що доводить, що

\nu

є векторною мірою із скінченною варіацією.

Векторна міра із скінченною напівваріацією але нескінченною варіацією. Нехай ${\mathcal {L}}|_{[0,1]}$ є σ-алгеброю підмножин Лебера множини $[0,1]$ . Функція $\nu \colon {\mathcal {L}}|_{[0,1]}\to L_{\infty }[0,1]$ , задана як

\nu (A)=\chi _{A},

для

A\in {\mathcal {L}}|_{[0,1]}

має скінченну напівваріацію але нескінченну варіацію.

Векторна міра із нескінченною варіацією. Нехай ${\mathcal {F}}=\{A\subseteq \mathbb {N} \colon |A|<\aleph _{0}\vee |\mathbb {N} \setminus A|<\aleph _{0}\}.$ Функція $\nu \colon {\mathcal {F}}\to \mathbb {R}$ задана як

\nu (A)=\left\{{\begin{array}{ll}|A|,&|A|<\aleph _{0}\\-|A|,&|\mathbb {N} \setminus A|<\aleph _{0}\end{array}}\right.

має необмежену варіацію.

Див. також

Література

Cohn, Donald L. (1997). Measure theory (вид. reprint). Boston–Basel–Stuttgart: Birkhäuser Verlag. с. IX+373. ISBN 3-7643-3003-1. Zbl 0436.28001.
Diestel, Joe; Uhl, Jerry J., Jr. (1977). Vector measures. Mathematical Surveys 15. Providence, R.I: American Mathematical Society. с. xiii+322. ISBN 0-8218-1515-6.
Kluvánek, I., Knowles, G, Vector Measures and Control Systems, North-Holland Mathematics Studies 20, Amsterdam, 1976.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.