Комплексна міра

Формально комплексна міра ${\displaystyle \mu }$ на вимірному просторі ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ є комплекснозначною функцією

${\displaystyle \mu$ :\Sigma \to \mathbb {C} }

яка є σ-адитивною. Іншими словами, для будь-якої послідовності ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ елементи якої попарно не перетинаються і належать ${\displaystyle \Sigma }$:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})=\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\in \mathbb {C} .}$

З того що ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{\sigma (n)}}$ для будь-якої перестановки ${\displaystyle \sigma$ :\mathbb {N} \to \mathbb {N} } , випливає, що ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$ збігається безумовно (а тому і абсолютно).

Для комплексної міри μ визначається її варіація або абсолютне значення, |μ| за формулою

${\displaystyle |\mu |(A)=\sup \sum _{n=1}^{\infty }|\mu (A_{n})|}$

де A належить Σ і супремум береться по всіх послідовностях множин (A_n)_n, що належать Σ, попарно не перетинаються і їх об'єднання є рівним A (такі послідовності називаються розбиттями множини A). Еквівалентно можна розглядати лише скінченні розбиття множини A на вимірні підмножини.

• Варіація |μ| є мірою.

  Нехай ${\displaystyle A\in \Sigma }$ і послідовність ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ є розбиттям множини ${\displaystyle A.}$ З означення варіації комплексної міри для кожного дійсного числа ${\displaystyle t_{i}<|\mu |(A_{i})}$ існує розбиття ${\displaystyle (A_{ij})_{j\in \mathbb {N} }}$ множини ${\displaystyle A_{i}}$ для якого ${\textstyle t_{i}<\sum _{i=1}^{\infty }|\mu (A_{ij})|.}$ Разом усі множини ${\displaystyle A_{ij}}$ утворюють розбиття ${\displaystyle A}$ і тому згідно означення варіації комплексної міри ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }t_{i}\leqslant \sum _{i,j=1}^{\infty }|\mu (A_{ij})|\leqslant |\mu |(A).}$ Оскільки числа ${\textstyle t_{i}}$ є довільними із вказаною властивістю, то ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|\mu |(A_{i})\leqslant |\mu |(A).}$

  Навпаки, якщо ${\displaystyle (B_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ є довільним розбиттям множини ${\displaystyle A,}$ то ${\displaystyle (B_{i}\cap A_{j})_{j\in \mathbb {N} }}$ є розбиттям множини ${\displaystyle B_{i}}$ і тому:

  ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }|\mu (B_{i})|=\sum _{i=1}^{\infty }\left|\sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{i}\cap A_{j})\right|\leqslant \sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }\left|\mu (B_{i}\cap A_{j})\right|\leqslant \sum _{j=1}^{\infty }|\mu |(A_{j}).}$

  Оскільки ці нерівності виконуються для всіх ${\displaystyle (B_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ то також ${\displaystyle |\mu |(A)\leqslant \sum _{j=1}^{\infty }|\mu |(A_{j}).}$

  Таким чином із двох протилежних нерівностей одержується рівність ${\displaystyle |\mu |(A)=\sum _{j=1}^{\infty }|\mu |(A_{j}).}$ Відповідно |μ| є мірою.

• |μ| є скінченною мірою, тобто ${\displaystyle |\mu |(X)<\infty .}$

  Достатньо довести, що для ${\displaystyle E\in \Sigma }$ існують множини ${\displaystyle A,B\in \Sigma ,}$ із пустим перетином для яких ${\displaystyle A\cup B=E}$ і ${\displaystyle |\mu (A)|>1,\ |\mu |(B)=\infty .}$ Дійсно у цьому випадку для ${\displaystyle X}$ можна вибрати множини ${\displaystyle A_{1},\ B_{1}}$ із такими властивостями, тоді для ${\displaystyle B_{1}}$ аналогічно множини ${\displaystyle A_{2},\ B_{2}}$, для ${\displaystyle B_{2}}$ відповідні множини ${\displaystyle A_{3},\ B_{3}}$ і т.д. Множини ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ тоді попарно не перетинаються і ${\displaystyle |\mu (A_{i})|>1}$. Але тоді ряд елементами, якого є ${\displaystyle \mu (A_{i})}$ не є збіжним і відповідно умова σ-адитивності не може виконуватися.

  Для доведення цієї умови спершу із того, що ${\displaystyle |\mu |(E)=\infty }$ і означення варіації комплексної міри випливає, що для довільного дійсного числа ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує розбиття ${\displaystyle E_{1},\ldots ,E_{n}}$ множини ${\displaystyle E}$ для якого ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}|\mu (E_{j})|>\varepsilon .}$ При цьому можна вибрати підмножину ${\displaystyle S}$ множини ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ для якої ${\textstyle |\sum _{j\in S}\mu (E_{j})|\geqslant {1 \over 4{\sqrt {2}}}\cdot \sum _{j=1}^{n}|\mu (E_{j})|>{1 \over 4{\sqrt {2}}}\cdot \varepsilon .}$ Справді якщо позначити ${\textstyle w=\sum _{j=1}^{n}|\mu (E_{j})|}$, то для одного із квадрантів ${\displaystyle y=\pm x}$, сума абсолютних значень тих ${\displaystyle \mu (E_{j})}$, що належать цьому квадрату є не меншою ${\textstyle {w \over 4}}$. Якщо припустити, що це квадрант для якого ${\displaystyle |y|\leqslant x}$ то для чисел із цього квадранту ${\textstyle \Re (z)\geqslant {1 \over {\sqrt {2}}}|z|}$. Позначивши ${\displaystyle S}$ множину елементів із цього квадранта тоді:

  ${\textstyle |\sum _{j\in S}\mu (E_{j})|\geqslant \sum _{j\in S}\Re (\mu (E_{j}))\geqslant {1 \over {\sqrt {2}}}\sum _{j\in S}|\mu (E_{j})|\geqslant {w \over 4{\sqrt {2}}}}$

  Якщо взяти ${\displaystyle \varepsilon =4{\sqrt {2}}\cdot (1+|\mu (E)|)}$ то ${\textstyle |\sum _{j\in S}\mu (E_{j})|>{1 \over 4{\sqrt {2}}}\cdot \sum _{j=1}^{n}|\mu (E_{j})|>{1 \over 4{\sqrt {2}}}\cdot \varepsilon \geqslant 1.}$ Якщо позначити ${\displaystyle A=\cup _{j\in S}E_{j}}$ і ${\displaystyle B=E\setminus A}$, то із вказаних властивостей ${\displaystyle |\mu (A)|>1}$ і також ${\displaystyle |\mu (B)|=|\mu (E)-\mu (A)|\geqslant |\mu (A)|-|\mu (E)|>{\varepsilon \over 4{\sqrt {2}}}-|\mu (E)|=1.}$ Також із адитивності варіацій комплексної міри випливає, що принаймні одна із величин ${\displaystyle |\mu |(A),\ |\mu |(B)}$ має бути нескінченною. Помінявши позначення, якщо потрібно одержується необхідні множини ${\displaystyle A,\ B.}$

Можна визначити інтеграл комплексної вимірної функції щодо комплексної міри так само, як інтеграл Лебега для дійснозначної вимірної функції щодо невід’ємної міри шляхом апроксимації вимірної функції за допомогою простих функцій. Як і у випадку звичайного інтегрування, цей більш загальний інтеграл може не існувати, або його значення може бути нескінченним (комплексна нескінченність).

Інший підхід полягає в тому, щоб не розробляти теорію інтегрування з нуля, а використовувати вже доступне поняття інтеграла від дійсної функції щодо невід’ємної міри. Для цього використовується той факт, що дійсна та уявна частини μ₁ і μ₂ комплексної міри μ є скінченнозначними σ-адитивними зарядами. До цих зарядів можна застосувати розклад Жордана і записати

${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{1}^{+}-\mu _{1}^{-}}$

і

${\displaystyle \mu _{2}=\mu _{2}^{+}-\mu _{2}^{-}}$

де μ₁⁺, μ₁⁻, μ₂⁺, μ₂⁻ є скінченнозначними невід’ємними мірами. Тоді для вимірної дійснозначної функції f, можна визначити

${\displaystyle \int _{X}\!f\,d\mu =\left(\int _{X}\!f\,d\mu _{1}^{+}-\int _{X}\!f\,d\mu _{1}^{-}\right)+i\left(\int _{X}\!f\,d\mu _{2}^{+}-\int _{X}\!f\,d\mu _{2}^{-}\right)}$

якщо вираз у правій частині має зміст, тобто всі чотири інтеграли існують і при їх додаванні не зустрічаються невизначеності виду ∞−∞.

Для комплекснозначної вимірної функції, можна інтегрувати окремо її дійсні та уявні компоненти окремо, як показано вище і тоді

${\displaystyle \int _{X}\!f\,d\mu =\int _{X}\!\Re (f)\,d\mu +i\int _{X}\!\Im (f)\,d\mu .}$

Подібно до того, як комплексне число може бути представлене в полярній формі, для комплексної міри можна дати «полярний розклад»: а саме, існує вимірна дійснозначна функція θ для якої

${\displaystyle d\mu =e^{i\theta }d|\mu |,}$

що означає, що

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}fe^{i\theta }\,d|\mu |}$

для будь-якої абсолютно інтегрованої вимірної функції f, тобто функції f, що задовольняє умову

${\displaystyle \int _{X}|f|\,d|\mu |<\infty .}$

Ці твердження можна довести за допомогою теореми Радона — Нікодима.

Сума двох комплексних мір є комплексною мірою, як і добуток комплексної міри на комплексне число. Тобто множина всіх комплексних мір на просторі мір (X, Σ) утворює векторний простір над комплексними числами. Крім того, загальна варіація ${\displaystyle \|\cdot \|}$ рівна за означенням

${\displaystyle \|\mu \|=|\mu |(X)\,}$

є нормою, відносно якої простір комплексних мір є простором Банаха.

• Векторна міра
• Вимірний простір
• Заряд (теорія міри)
• Інтеграл Лебега
• Міра множини

• Rudin, Walter (1966). Real & Complex Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054234-1.