Міра Лебега

Для довільної підмножини ${\displaystyle \ E}$ числової прямої можна знайти довільну кількість різних систем скінченної чи зліченної кількості інтервалів, об'єднання яких містить множину ${\displaystyle \ E}$. Назвемо такі системи покриттями. Сума довжин інтервалів, що входять в покриття, є невід'ємною і обмежена знизу, отже множина довжин всіх покриттів має точну нижню грань. Ця грань, залежить тільки від множини ${\displaystyle \ E}$, і називається зовнішньою мірою:

${\displaystyle m^{*}E=\inf \left\{\sum _{i}\Delta _{i}\right\}.}$

Варіанти позначення зовнішньої міри:

${\displaystyle m^{*}E=\varphi (E)=|E|^{*}.}$

Очевидно, що зовнішня міра довільного інтервала збігається з його довжиною.

• ${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}\Longrightarrow m^{*}E_{1}\leqslant m^{*}E_{2}.}$
• ${\displaystyle E=\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\Longrightarrow m^{*}E\leqslant \sum _{k=1}^{\infty }m^{*}E_{k}.}$
• ${\displaystyle \forall E,\;\varepsilon >0\;\exists G\supseteq E\colon m^{*}G\leqslant m^{*}E+\varepsilon }$, де ${\displaystyle G}$ — відкрита множина. Дійсно, достатньо як ${\displaystyle G}$ взяти суму інтервалів, що утворюють покриття ${\displaystyle E}$, таку що ${\displaystyle \sum _{i}\Delta _{i}\leqslant m^{*}E+\varepsilon }$. Існування такого покриття випливає з визначення точної нижньої грані.

Якщо множина ${\displaystyle \ E}$ обмежена, то внутрішньою мірою множини ${\displaystyle \ E}$ називається різниця між довжиною сегмента ${\displaystyle [a,\;b]}$, що містить ${\displaystyle \ E}$ та зовнішньою мірою доповнення ${\displaystyle \ E}$ в ${\displaystyle [a,\;b]}$:

${\displaystyle m_{*}E=(b-a)-m^{*}([a,\;b]\setminus E).}$

Для необмежених множин, ${\displaystyle \ m_{*}E}$ визначається як точна верхня грань ${\displaystyle (b-a)-m^{*}([a,\;b]\setminus E)}$ по всіх відрізках ${\displaystyle [a,\;b]}$.

• Множина Віталі — історично перший приклад множини, що не має міри Лебега (невимірна множина). Цей приклад опублікував у 1905 році італійський математик Джузепе Віталі.

Побудова невимірної множини на відрізку була б неможлива без прийняття аксіоми вибору (не можна було б допускати можливість вибирати представника в кожному класі еквівалентності).