Ортоцентричний трикутник

Ортотрикутник (ортоцентричний трикутник) — це трикутник Δabc, вершини якого є основами висот трикутника ∆ABC. Для ортотрикутника (для ортоцентричного трикутника) Δabc сам трикутник ∆ABC є трикутником трьох зовнішніх бісектрис. Тобто відрізки AB, BC і CA є трьома зовнішніми бісектрисами трикутника Δabc.

Властивості

Задача Фаньяно. Ортоцентричний трикутник гострокутного трикутника АВС володіє найменшим периметром з усіх вписаних трикутників.
Висоти гострокутного трикутника є бісектрисами кутів його ортотрикутника (отже, ортоцентр гострого трикутника є центром кола, вписаного в його ортотрикутник).
Якщо точки A₁, B₁ і C₁ на сторонах відповідно BC, AC і AB гострокутного трикутника ABC такі, що

\angle BA_{1}C_{1}=\angle CA_{1}B_{1}

,

\angle CB_{1}A_{1}=\angle AB_{1}C_{1}

і

\angle AC_{1}B_{1}=\angle BC_{1}A_{1}

,

то $A_{1}B_{1}C_{1}$ — ортотрикутник трикутника ABC.

Якщо навколо даного гострокутного трикутника описати коло і в трьох вершинах трикутника провести прямі, дотичні до кола, то перетин цих прямих утворює трикутник, який називається тангенціальним трикутником відносно цього трикутника.

Вихідний трикутник $\Delta ABC$ по відношенню до ортотрикутника є трикутником трьох зовнішніх бісектрис.
Ортотрикутник і тангенціальний трикутник подібні (Зетель, наслідок 1, §66, с. 81).
Трикутник Жергонна ортотрикутника і вихідний трикутник подібні.
Трикутник трьох зовнішніх бісектрис трикутника трьох зовнішніх бісектрис і вихідний трикутник подібні.
Ортотрикутник трикутника Жергонна і вихідний трикутник подібні.
Вище зазначені властивості подібності родинних трикутників є наслідком нижче перерахованих властивостей паралельності (антипаралельності) сторін родинних трикутників.

Сторони даного гострокутного трикутника антипаралельні відповідним сторонам ортотрикутника, проти яких вони лежать.
Сторони тангенціального трикутника антипаралельні відповідним протилежним сторонам даного трикутника (по властивості антипаралельності дотичних до кола).
Сторони тангенціального трикутника паралельні відповідним сторонам ортотрикутника.
Якщо точки дотику вписаного в даний трикутник кола з'єднані відрізками, то вийде трикутник Жергонна. Нехай в отриманому трикутнику проведено висоти. Тоді прямі, що з'єднують підстави цих висот, паралельні сторонам вихідного трикутника. Отже, ортотрикутник трикутника Жергонна і вихідний трикутник подібні.

S_{ort}={\frac {S}{(2abc)^{2}}}(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}+c^{2}-b^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})

де $S$ — площа трикутника ΔABC; $a,b,c$ - його відповідні сторони.

Коло, описане навколо ортотрикутника Δabc, для самого трикутника ΔABC є окружністю Ейлера (окружністю 9 точок), тобто одночасно проходить через 3 підстави медіан останнього. Зауважимо, що ці 3 підстави медіан є вершинами додаткового трикутника для трикутника ΔABC.
Радіуси кола, описаного навколо даного трикутника ΔABC, проведені через його вершини, перпендикулярні відповідним сторонам ортотрикутника Δabc (Зетель, наслідок 2, §66, с. 81).

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.