Геометричний броунівський рух

Геометричний броунівський рух (GBM) — випадковий процес з неперервним часом, логарифм якого являє собою броунівський рух(вінерівський процес). GBM застосовується з метою моделювання ціноутворення на фінансових ринках і використовується переважно в моделях ціноутворення опціонів, оскільки GBM може приймати будь-які додатні значення. GBM є розумним наближенням до реальної динаміки цін акцій, не враховує, однак, рідкісні події (викиди).

Випадковий процес S_t є GBM, якщо він задовольняє наступне стохастичне диференціальне рівняння:

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}}$

де ${\displaystyle W_{t}}$ є броунівський рух, а ${\displaystyle \mu }$ («параметр сноса») і ${\displaystyle \sigma }$ («параметр волатильності») постійні.

Для довільного початкового значення S₀ дане СДР має розв'язки

${\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right),}$

що є логнормально розподілена випадкова величина з математичним очікуванням ${\displaystyle \mathbb {E} (S_{t})=e^{\mu t}S_{0}}$ і дисперсією ${\displaystyle \operatorname {Var} (S_{t})=e^{2\mu t}S_{0}^{2}\left(e^{\sigma ^{2}t}-1\right).}$

Коректність рішення може бути встановлена з використанням леми Іто. Випадкова величина log(S_t/S₀) розподілена нормально з маточікуванням ${\displaystyle (\mu -\sigma ^{2}/2)t}$ і дисперсією ${\displaystyle \sigma ^{2}t}$, що означає, що прирости GBM нормальні, що дає можливість говорити про «геометричність» процесу.