Логнормальний розподіл

Нехай розподіл випадкової величини ${\displaystyle X}$ задається щільністю ймовірності, що має вид:

${\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(\ln x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}},&x>0\\0,&x\leq 0\end{matrix}}\right.}$,

де ${\displaystyle \sigma >0,\;\mu \in \mathbb {R} }$. Тоді кажуть, що ${\displaystyle X}$ має логнормальний розподіл з параметрами ${\displaystyle \mu }$ і ${\displaystyle \sigma }$. Пишуть: ${\displaystyle X\sim \mathrm {Log} (\mu ,\sigma ^{2})\ }$.

Формула для ${\displaystyle k}$-го моменту логнормальної випадкової величини ${\displaystyle X}$ має вид:

${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{k}\right]=e^{k\mu +{\frac {k^{2}\sigma ^{2}}{2}}},\;k\in \mathbb {N} ,}$

відкіля зокрема :

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=e^{\mu +{\sigma ^{2} \over 2}}}$,

${\displaystyle \mathrm {D} [X]=\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)e^{2\mu +\sigma ^{2}}}$.

• Якщо ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — незалежні логнормальні випадкові величини, такі що ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Log} (\mu ,\sigma _{i}^{2})}$, то їхній добуток також логнормальний:

${\displaystyle Y=\prod \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \mathrm {Log} \left(n\mu ,\sum \limits _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}\right)}$.

• Якщо ${\displaystyle X\sim \mathrm {Log} (\mu ,\sigma ^{2})\ }$, то

${\displaystyle Y=\ln X\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})\ }$.

Для моделювання звичайно використовується зв'язок з нормальним розподілом. Тому, достатньо згенерувати нормально розподілену випадкову величину, наприклад, використовуючи перетворення Бокса-Мюллера, і обчислити її експоненту.

У статистиці так званий логнормальний розподіл застосовується в тому випадку, коли починає змінюватися ціна активу в майбутньому, а це — випадковий процес, що в принципі повинний описуватися нормальним розподілом. Водночас для цілей імовірнісної оцінки вартості активу в теорії використовують не нормальний, а логнормальний розподіл. Це обумовлено наступним:

• По-перше, нормальний розподіл симетричний щодо її центральної осі і може мати як додатні, так і від'ємні значення; однак ціна активу не може бути від'ємною.
• По-друге, нормальний розподіл говорить про рівну імовірність для відхилення значень змінної чи нагору вниз. У той же час на практиці, наприклад, має місце інфляція, що натискає на ціни убік їхнього підвищення, а також сама тимчасова сутність грошей: вартість грошей сьогодні менше, ніж вартість грошей учора, але більше, ніж вартість грошей завтра.

Крива логнормального розподілу завжди додатня і має правобічну скошеність (асиметрично), тобто вона вказує на велику імовірність відхилення ціни вгору. Тому якщо, допустимо, ціна активу становить 50 дол., то крива логнормального розподілу свідчить про те, що пут-опціон з ціною виконання 45 дол. повинний коштувати менше колл-опціону із ціною виконання 55 дол., у той час як відповідно до нормального розподілу вони повинні були б мати однакову ціну. Хоча не можна сподіватися, що приведені вихідні припущення в точності виконуються у всіх реальних ринкових ситуаціях, проте прийнято вважати, що логнормальний розподіл є достатньо добрим як перше наближення у випадку активів, якими торгують на конкурентних ринках аукціонного типу для довгих розглянутих періодів.