Границя Лапласа

Грани́ця Лапла́са — найбільше значення ексцентриситету, за якого розв'язок рівняння Кеплера, виражений у вигляді ряду за ексцентриситетом, збігається. Названо на честь французького математика П'єра Симона Лапласа. Приблизне значення границі Лапласа:

0,662 743 419 349 181 580 974 742 097 109 252 90.

Пояснення

Рівняння Кеплера $M=E-\varepsilon \sin E$ пов'язує між собою середню аномалію $M$ з ексцентричною аномалією $E$ для тіла, що рухається по еліпсу з ексцентриситетом $ε$ . Це рівняння не можна розв'язати для E через елементарні функції, але теорема Лагранжа про обернення рядів дає розв'язок у вигляді степеневого ряду від $ε$ :

E=M+\sin(M)\,\varepsilon +{\tfrac {1}{2}}\sin(2M)\,\varepsilon ^{2}+\left({\tfrac {3}{8}}\sin(3M)-{\tfrac {1}{8}}\sin(M)\right)\,\varepsilon ^{3}+\cdots

Радіус збіжності цього степеневого ряду (таке число, що за менших значень ряд збігається, а за більших — розбігається) при значеннях константи $M$ , що не є цілочисельно кратними $π$ , не залежить від вибору $M$ і називається числом (границею) Лапласа.

Границя Лапласа є розв'язком рівняння

{\frac {x\exp({\sqrt {1+x^{2}}})}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}=1.

Див. також

Ексцентриситет орбіти

Примітки

Finch, Steven R. (2003). Laplace limit constant. Mathematical constants. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-81805-6..

Посилання

Weisstein, Eric W. Границя Лапласа(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.