Теорема Лагранжа про обернення рядів

Ряд Бюрмана — Лагранжа визначається як розклад голоморфної функції ${\displaystyle f(z)}$ за степенями іншої голоморфної функції ${\displaystyle w(z)}$ і є узагальненням ряду Тейлора.

Нехай ${\displaystyle f(z)}$ і ${\displaystyle w(z)}$ голоморфні в околі деякої точки ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$, причому ${\displaystyle w(a)=0}$ і ${\displaystyle a}$ — простий нуль функції ${\displaystyle w(z)}$. Тепер виберемо деяку область ${\displaystyle D\ni a}$, у якій ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle w}$ голоморфні, а ${\displaystyle w}$ однолиста в ${\displaystyle {\overline {D}}}$. Тоді має місце розклад вигляду:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}w^{n}(z),}$

де коефіцієнти ${\displaystyle d_{n}}$ обчислюються за таким виразом:

${\displaystyle d_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\zeta )w'(\zeta )}{w^{n+1}(\zeta )}}\,d\zeta ={\frac {1}{n!}}\lim _{z\to a}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left\{f'(z){\frac {(z-a)^{n}}{w^{n}(z)}}\right\}.}$

Функція ${\displaystyle W(z)}$ визначається рівнянням:

${\displaystyle W(z)e^{W(z)}=z.\,}$

Застосуємо теорему для отримання ряду Тейлора для ${\displaystyle W(z)}$ в околі ${\displaystyle z=0.}$ Приймемо ${\displaystyle f(w)=w\mathrm {e} ^{w}}$ та ${\displaystyle a=0.}$ Тоді

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\ \mathrm {e} ^{\alpha \,x}\,=\,\alpha ^{n}\,\mathrm {e} ^{\alpha \,x}}$

Отримаємо

${\displaystyle W(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\lim _{w\to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} w^{\,n-1}}}\ \mathrm {e} ^{-nw}\right){\frac {z^{n}}{n!}}\,=\,\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{n-1}\,{\frac {z^{n}}{n!}}=z-z^{2}+{\frac {3}{2}}z^{3}-{\frac {8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).}$

Радіус збіжності ряду дорівнює ${\displaystyle e^{-1}}$ (для основної гілки функції).

Ряд може збігатись і для деяких більших z. Функція ${\displaystyle f(z)=W(e^{z})-1\,}$ задовольняє рівняння

${\displaystyle 1+f(z)+\ln(1+f(z))=z.\,}$

Тоді ${\displaystyle z+\ln(1+z)\,}$ можна розкласти в ряд застосувавши теорему. Це дасть ряд для ${\displaystyle f(z+1)=W(e^{z+1})-1\,}$:

${\displaystyle W(e^{1+z})=1+{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{16}}-{\frac {z^{3}}{192}}-{\frac {z^{4}}{3072}}+{\frac {13z^{5}}{61440}}-{\frac {47z^{6}}{1474560}}-{\frac {73z^{7}}{41287680}}+{\frac {2447z^{8}}{1321205760}}+O(z^{9}).}$

${\displaystyle W(x)\,}$ можна обчислити підстановкою ${\displaystyle \ln x-1\,}$ замість z.

Розглянемо набір ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ нерозмічених двійкових дерев . Елемент ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ це або лист нульового розміру, або кореневий вузол з двома піддеревами. Позначимо через ${\displaystyle B_{n}}$ кількість двійкових дерев на 'вузлах.

Видалення кореня розбиває двійкове дерево на два дерева меншого розміру. З цього виходить функціональне рівняння на породжувальну функцію ${\displaystyle \textstyle B(z)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}z^{n}{\text{:}}}$

${\displaystyle B(z)=1+zB(z)^{2}.}$

Задаючи ${\displaystyle C(z)=B(z)-1}$, маємо ${\displaystyle C(z)=z(C(z)+1)^{2}.}$ Застосовуючи теорему з ${\displaystyle \phi (w)=(w+1)^{2}}$ отримуємо

${\displaystyle B_{n}=[z^{n}]C(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](w+1)^{2n}={\frac {1}{n}}{\binom {2n}{n-1}}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}.}$

Отже ${\displaystyle B_{n}}$ є n-м числом Каталана.

У теоремі Лапласа-Ерделі, яка дає асимптотичне наближення для інтегралів лапласового типу, інверсія функції є важливим кроком.