Теорема Лагранжа про обернення рядів

Теорема Лагранжа про обернення рядів — теорема в математичному аналізі про побудову ряду Тейлора для оберненої функції до даної аналітичної функції.

Формулювання теореми

Нехай функцію z від змінної w задано рівнянням

де f — аналітична в точці a та f '(a) ≠ 0. Тоді можна подати w у вигляді ряду

де

Теорема стверджує, що цей ряд має не нульовий радіус збіжності в околі .

Якщо опустити вимогу аналітичності, формулу можна узагальнити для формальних степеневих рядів.

Теорему довів Лагранж і узагальнив Гансом Бюрман у XVIII столітті.

Якщо f — формальний степеневий ряд, то формула не дає змоги виразити коефіцієнти ряду оберненої функції через коефіцієнти ряду початкової функції. Якщо функції f та g подано формальними степеневими рядами

а також f0 = 0 та f1 ≠ 0, то явну формулу для коефіцієнтів оберненого ряду можна подати через поліноми Белла:

де      та    зростаючий факторіал.

Приклад

Алгебричне рівняння степеня p

можна розв'язати з отриманням ряду

За ознаками збіжності отримаємо радіус збіжності |z| ≤ (p − 1)pp/(p − 1).

Застосування

Ряд Лагранжа—Бюрмана

Ряд Бюрмана — Лагранжа визначається як розклад голоморфної функції за степенями іншої голоморфної функції і є узагальненням ряду Тейлора.

Нехай і голоморфні в околі деякої точки , причому і  — простий нуль функції . Тепер виберемо деяку область , у якій і голоморфні, а однолиста в . Тоді має місце розклад вигляду:

де коефіцієнти обчислюються за таким виразом:

W-функція Ламберта

Функція визначається рівнянням:

Застосуємо теорему для отримання ряду Тейлора для в околі Приймемо та Тоді

Отримаємо

Радіус збіжності ряду дорівнює (для основної гілки функції).

Ряд може збігатись і для деяких більших z. Функція задовольняє рівняння

Тоді можна розкласти в ряд застосувавши теорему. Це дасть ряд для :

можна обчислити підстановкою замість z.

Двійкові дерева

Розглянемо набір нерозмічених двійкових дерев . Елемент це або лист нульового розміру, або кореневий вузол з двома піддеревами. Позначимо через кількість двійкових дерев на 'вузлах.

Видалення кореня розбиває двійкове дерево на два дерева меншого розміру. З цього виходить функціональне рівняння на породжувальну функцію

Задаючи , маємо Застосовуючи теорему з отримуємо

Отже є nчислом Каталана.

Асимптотичне наближення інтегралів

У теоремі Лапласа-Ерделі, яка дає асимптотичне наближення для інтегралів лапласового типу, інверсія функції є важливим кроком.

Джерела

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.