Кеплерові елементи орбіти

Велика піввісь — це половина головної осі еліпса ${\displaystyle |AB|}$ (позначена на рис.2 як a). В астрономії характеризує максимальну відстань небесного тіла від центру еліптичної орбіти.

Ексцентрисите́т (позначаеться «${\displaystyle e}$» чи «ε») — числова характеристика конічного перетину. Ексцентриситет інваріантний щодо рухів площини і перетворень подібності.[1] Ексцентриситет характеризує «стислість» орбіти. Він виражається за формулою:

${\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$, де ${\displaystyle b}$ — мала піввісь (див. рис.2)

Можна розділити зовнішній вигляд орбіти на п'ять груп:

• ${\displaystyle \varepsilon =0}$ — коло
• ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$ — еліпс
• ${\displaystyle \varepsilon =1}$ — парабола
• ${\displaystyle 1<\varepsilon <\infty }$ — гіпербола
• ${\displaystyle \varepsilon =\infty }$ — пряма 

A — Об'єкт
B — Центральний об'єкт
C — Площина відрахунку
D — Площина орбіти
 i  — Нахил

Нахил орбіти небесного тіла — це кут між площиною його орбіти і площиною відліку (базовою площиною).

Зазвичай позначається буквою i (від англ. Inclination). Нахил вимірюється в кутових градусах мінутах і секундах.

Якщо ${\displaystyle 0<i<90}$°, то рух небесного тіла називається прямим.

Якщо ${\displaystyle 90}$°${\displaystyle <i<180}$°, то рух небесного тіла називається зворотним.

У застосуванні до Сонячної системи, за площину відліку зазвичай вибирають площину орбіти Землі (площину екліптики). Площини орбіт інших планет Сонячної системи і Місяця відхиляються від площини екліптики лише на кілька градусів. 

Довгота висхідного вузла - один з основних елементів орбіти, що використовується для математичного опису орієнтації площини орбіти відносно базової площини. Визначає кут в базовій площині, утворений між базовим напрямком на нульову точку і напрямком на точку висхідного вузла орбіти, в якій орбіта перетинає базову площину в напрямку з півдня на північ.
 

Аргуме́нт перице́нтру — визначається як кут між напрямками з притягувального центру на висхідний вузол орбіти і на перицентр (найближчу до притягувального центру точку орбіти супутника), або кут між лінією вузлів і лінією апсид. Відраховується з притягувального центру в напрямку руху супутника звичайно вибирається в межах 0°-360°.

При дослідженні екзопланет і подвійних зірок як базову використовують картинну площину - площину, що проходить через зірку і перпендикулярну променю спостереження зірки з Землі. Орбіта екзопланети в загальному випадку випадковим чином орієнтована щодо спостерігача, перетинає цю площину в двох точках. Точка, де планета перетинає картинну площину, наближаючись до спостерігача, вважається висхідним вузлом орбіти, а точка, де планета перетинає картинну площину, віддаляючись від спостерігача, вважається низхідним вузлом. У цьому випадку аргумент перицентру відраховується з притягувального центру проти годинникової стрілки.

Позначається (${\displaystyle \omega \,\!}$).

Замість аргументу перигелію часто використовується інший кут довгота перигелію що позначається як ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$. Він визначається, як сума довготи висхідного вузла і аргументу перигелію. Це - дещо незвичний кут, так як він вимірюється частково вздовж екліптики, а частково - уздовж орбітальної площини. Однак, часто він більш практичний, ніж аргумент перигелію, так як добре визначений навіть, коли нахил орбіти близько до нуля, коли напрямок на висхідний вузол стає невизначеним[2].

Анімація, що ілюструє справжню аномалію, ексцентричну аномалію, середню аномалію і рішення рівняння Кеплера.

Аномалії (рис.3)

Середня аномалія для тіла, що рухається по незбуреній орбіті - добуток його середнього руху та інтервалу часу після проходження перицентру. Таким чином, середня аномалія - кутова відстань від перицентру гіпотетичного тіла, що рухається з постійною кутовою швидкістю, що дорівнює середньому руху.

Позначається буквою ${\displaystyle M}$ (від англ. mean anomaly)

У зоряної динаміці середня аномалія M обчислюється за такими формулами:

${\displaystyle M=M_{0}+n(t-t_{0})\,\!}$

де:

• ${\displaystyle M_{0}\,\!}$ — середня аномалія на епоху ${\displaystyle t_{0}\,\!}$,
• ${\displaystyle t_{0}\,\!}$ — початкова епоха,
• ${\displaystyle t\,\!}$ — епоха, на яку здійснюються обчислення, і
• ${\displaystyle n\,\!}$ — середній рух.

Або через рівняння Кеплера:

${\displaystyle M=E-e\cdot \sin E\,\!}$

де:

• ${\displaystyle E\,\!}$ — ексцентрична аномалія (${\displaystyle E}$ на рис.3),
• ${\displaystyle e\,\!}$ — ексцентриситет.

Розглянемо наступну задачу: нехай є необуреним рух і відомі вектор положення ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ і вектор швидкості ${\displaystyle \mathbf {{\dot {r}}({{\dot {x}}_{0}},{{\dot {y}}_{0}},{{\dot {z}}_{0}})} }$ на момент часу ${\displaystyle t}$. Знайдемо кеплерові елементи орбіти.

Перш за все, обчислимо велику піввісь:

${\displaystyle r_{0}^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}}$

${\displaystyle {\dot {r}}_{0}^{2}={\dot {x}}_{0}^{2}+{\dot {y}}_{0}^{2}+{\dot {z}}_{0}^{2}}$

${\displaystyle r_{0}\cdot {\dot {r}}_{0}=x_{0}\cdot {\dot {x}}_{0}+y_{0}\cdot {\dot {y}}_{0}+z_{0}\cdot {\dot {z}}_{0}}$

За інтегралом енергії:

(1) ${\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {2}{r_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{\mu }}}$, де μ — гравітаційний параметр, що дорівнює добутку гравітаційної постійної на масу небесного тіла; для Землі μ = 3,986005·10⁵ км³/c², для Сонця μ = 1,32712438·10¹¹ км³/c².

Таким чином, по формулі (1) знаходимо ${\displaystyle a}$.

• Йоганн Кеплер
• Ексцентриситет