Степеневий ряд

У математиці степеневим рядом (однієї змінної) називається нескінченний ряд виду:

де an — коефіцієнти n - го доданку, c — деяка константа, а x — змінна визначена в деякій області, що містить c. На практиці часто c рівне нулю і степеневі ряди мають простіший вид:

Степеневі ряди широко використовуються у дійсному і комплексному аналізі, як ряди Тейлора функцій, а також в комбінаториці, теорії ймовірностей та ін.

Операції зі степеневими рядами

Додавання і віднімання

Для степеневих рядів f і g навколо точки c, можна визначити їх суму і різницю. Якщо:

тоді

Множення і ділення

Для множення і ділення одержуються формули:

Послідовність називається конволюцією послідовностей і .

Для ділення виконується:

і значення знаходяться з формул конволюції.

Збіжність степеневих рядів

Степеневий ряд називається збіжним в точці x0, якщо збіжним є відповідний числовий ряд . Степеневий ряд є збіжним в деякій області, якщо він є збіжним в кожній точці цієї області.

Ознаки збіжності

Для степеневих рядів є декілька теорем, що описують умови і характер їх збіжності.

  • Перша теорема Абеля: Нехай ряд є збіжним в точці . Тоді цей ряд є абсолютно збіжним в кругу рівномірно по на будь-якій компактній підмножині цього круга.

Навпаки, якщо степеневий ряд є розбіжним при , він є розбіжним при всіх , таких що . З першої теореми Абеля також випливає, що існує такий радіус круга (можливо, нульовий або нескінченний), що при ряд є абсолютно збіжним (і збіжність є рівномірною по на компактних підмножинах круга ), а при ряд є розбіжним. Це значення називається радіусом збіжності ряду, а круг — кругом збіжності.

Нехай і — два степеневі ряди з радіусами збіжності і . Тоді

Якщо у ряду вільний член нульовий, тоді

Питання про збіжність ряду в точках межі круга збіжності потребує додаткового аналізу:

Ознака Д’Аламбера: Якщо при і виконано нерівність
тоді степеневий ряд є абсолютно збіжним в усіх точках кола і збіжність є рівномірною по .
  • Ознака Діріхле: Якщо всі коефіцієнти степеневого ряду додатні і послідовність монотонно збігається до нуля, тоді цей ряд є збіжним в усіх точках кола , окрім, можливо, точки .
  • Друга теорема Абеля:Нехай степеневий ряд є збіжним в точці . Тоді він є рівномірно збіжним по на відрізку, що сполучає точки 0 і .

Похідна і інтеграл

Якщо деяка функція рівна сумі степеневого ряду в деякій області то її похідну і інтеграл можна визначити почленно продиференціювавши і проінтегрувавши доданки степеневого ряду:

Радіуси збіжності обох цих рядів дорівнюють радіусу початкового ряду.

Степеневі ряди багатьох змінних

Степеневий ряд від n змінних — ряд виду:

або, в мультиіндексних позначеннях

де — це вектор , мультиіндекс , — одночлен .

Див. також

Література

Посилання

  • Степеневі ряди. Теорема Абеля. Радіус збіжності.Область збіжності степеневого ряду // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 520. — 594 с.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.