Гранична точка

Нехай дано топологічний простір ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$, де ${\displaystyle X}$ — довільна множина, а ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ — означена на ${\displaystyle X}$ топологія. Нехай також задано підмножину ${\displaystyle A\subset X}$. Точка ${\displaystyle x\in X}$ називається граничною точкою множини ${\displaystyle A}$, якщо для будь-якої відкритої множини ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}}}$, такої що ${\displaystyle x\in U}$ виконується

${\displaystyle (U\setminus x)\cap A\not =\emptyset }$.

У випадку якщо ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$, точка ${\displaystyle x_{0}}$ називається граничною точкою множини A, якщо ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists x\in A\setminus \{x_{0}\}:|x-x_{0}|<\varepsilon }$

Для послідовності точок ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ в топологічному просторі граниною точкою ${\displaystyle x}$ буде називатись точка, будь-який окіл якої містить нескінченну кількість точок ${\displaystyle _{n}}$ послідовності.

• Сукупність всіх граничних точок множини A називається її похідною множиною і позначається ${\displaystyle A'}$.
• Об'єднання самої множини A з її похідною множиною A' називається замиканням множини і позначається ${\displaystyle {\bar {A}}}$ або ${\displaystyle [A]}$.

• У метричних просторах, якщо x — гранична точка A, то існує послідовність ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset A}$, що цілком лежить в A і така, що ${\displaystyle x_{n}\to x}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$.
  • Топологічні простори, для яких виконується ця властивість, називаються простори Фреше — Урисона
• Не всяка точка множини A зобов'язана бути граничною. І навпаки, гранична точка множини не зобов'язана їй належати.
• Будь-яка нескінченна і обмежена підмножина евклідового простору має хоч би одну граничну точку.
• Границя послідовності точок в топологічному просторі ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ завжи є точкою згущення цієї послідовності, проте в загальному випадку, не кожна гранична точка є границею послідовності. У випадку, якщо для будь-якої граничної точки будь-якої послідовності можливий вибір підпослідовності, що збігається до неї, то топологічний простір ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ задовільняє першу аксіому зліченності.