Граф Фрухта
В теорії графів Графом Фрухта називається 3-регулярний граф з 12 вершинами і 18 ребрами без нетривіальних симетрій[1]. Граф вперше був описаний Робертом Фрухтом в 1939 році[2].
| Граф Фрухта | |
|---|---|
 Граф Роберта Фрухта | |
| Вершин | 12 |
| Ребер | 18 |
| Радіус | 3 |
| Діаметр | 4 |
| Обхват | 3 |
| Автоморфізм | 1 (тотожний) |
| Хроматичне число | 3 |
| Хроматичний індекс | 3 |
| Властивості |
кубічний планарний гамільтонів. |
Граф Фрухта — це граф Халіна з хроматичним числом 3, хроматичним індексом 3, радіусом 3, діаметром 4 і обхватом 3. Як і всі графи Халіна, граф Фрухта є планарним, 3-вершинно-зв'язним і багатогранним графом. Він також є k-реберно-зв'язним графом. Його число незалежності дорівнює 5.
Граф Фрухта є гамільтоновим і може бути побудований за LCF-записом [-5,-2,-4,2,5,-2,2,5,-2,-5,4,2].
Алгебраїчні властивості
Граф Фрухта — це один з двох мінімальних кубічних графів, що мають єдиний автоморфізм — тотожність[3] (таким чином, будь-яка вершина може бути топологічно відрізана від інших). Такі графи називаються асиметричними графами. Теорема Фрухта стверджує, що будь-яку групу можна представити як групу симетрій графу[2], а посилення цієї теореми, теж Фрухт, стверджує, що будь-яка група може бути представлена як група симетрій 3-регулярного графу[4]. Граф Фрухта дає приклад такої реалізації для тривіальної групи.
Характеристичний многочлен графу Фрухта дорівнює .
Галерея
Хроматичне число графу Фрухта дорівнює 3.
Граф Фрухта є гамільтоновим.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Frucht Graph(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- R. Frucht. Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe. // Compositio Mathematica. — 1939. — Т. 6. — С. 239–250. — ISSN 0010-437X..
- Skiena, S. Implementing Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory with Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, 1990
- R. Frucht. Graphs of degree three with a given abstract group // Canadian Journal of Mathematics. — 1949. — Т. 1. — С. 365–378. — ISSN 0008-414X. — DOI:..