Гіперболічний об'єм
В теорії вузлів гіперболічний об'єм гіперболічного зачеплення дорівнює об'єму доповнення зачеплення відносно його повної гіперболічної метрики. Об'єм обов'язково є скінченним дійсним числом. Гіперболічний об'єм негіперболічного вузла часто вважається нульовим. Згідно з теоремою Мостова про жорсткість об'єм є топологічним інваріантом зачеплення[1]. Як інваріант зачеплення об'єм вперше вивчав Вільям Терстон у зв'язку з його гіпотезою геометризації[2].
Існує лише скінченне число гіперболічних вузлів з однаковим об'ємом[2]. Мутація гіперболічного вузла буде мати той самий об'єм[3], тому є можливість створити приклади з однаковим об'ємом. Більше того, існують довільно великі скінченні множини різних вузлів з однаковим об'ємом[2]. На практиці гіперболічний об'єм дуже ефективний для розрізнення вузлів, що застосовується в перелічуванні вузлів. Комп'ютерна програма SnapPea Джеффрі Вікса обчислює гіперболічний об'єм зачеплення[1].
Гіперболічний об'єм можна визначити для будь-якого гіперболічного 3-многовиду. Многовид Вікса має найменший можливий об'єм серед замкнених многовидів (многовид, на відміну від доповнення зачеплення, не має каспів) і його об'єм приблизно дорівнює 0,9427[4].
Список
- Вісімка = 2,029 883 2 (послідовність A091518 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
- Вузол на три півоберти = 2,82 812
- Стивідорний вузол = 3,16 396
- Вузол 6₂ = 4,40 083
- Нескінченний вузол = 5,13 794
- Пара Перко = 5,63 877
- Вузол 6₃ = 5,69 302
Примітки
- Adams, Hildebrand, Weeks, 1991, с. 1—56.
- Wielenberg, 1981, с. 505—513.
- Ruberman, 1987, с. 189—215.
- Gabai, Meyerhoff, Milley, 2009, с. 1157—1215.
Література
- David Gabai, Robert Meyerhoff, Peter Milley. Minimum volume cusped hyperbolic three-manifolds // Journal of the American Mathematical Society. — 2009. — Т. 22, вип. 4 (16 грудня). — arXiv:0705.4325. — DOI:.
- Colin Adams, Martin Hildebrand, Jeffrey Weeks. Hyperbolic invariants of knots and links. — Transactions of the American Mathematical Society, 1991. — Т. 326, вип. 1 (16 грудня). — DOI:.
- Daniel Ruberman. Mutation and volumes of knots in S3 // Inventiones Mathematicae. — 1987. — Т. 90, вип. 1 (16 грудня). — DOI:.
- Norbert J. Wielenberg. Riemann surfaces and related topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference (State Univ. New York, Stony Brook, N.Y., 1978). — Princeton, N. J., 1981. — Т. 97. — (Ann. of Math. Stud.)