Гіпотеза Сінгмастера

Сінгмастер показав:

${\displaystyle N(a)=O(\log a).\,}$

Пізніше Еббот (Abbott), Ердеш, і Хансон (Hanson) (див. Посилання) поліпшили оцінку. Найкраща на сьогодні оцінка

${\displaystyle N(a)=O\left({\frac {(\log a)(\log \log \log a)}{(\log \log a)^{3}}}\right),\,}$

отримана завдяки Даніелю Кейну (2007). Аббот Ердеш і Хансон зауважив, що умова гіпотези Крамера про відстань між послідовними простими числами

${\displaystyle N(a)=O\left(\log(a)^{2/3+\varepsilon }\right)}$
вірно для будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$.

Сінгмастер (1975) показав, що діофантове рівняння

${\displaystyle {n+1 \choose k+1}={n \choose k+2},}$

має нескінченно багато рішень для двох змінних n, k. Звідси випливає, що мається нескінченно багато випадків входження чисел 6 і більше разів. Рішення задаються рівняннями

${\displaystyle n=F_{2i+2}F_{2i+3}-1,\,}$

${\displaystyle k=F_{2i}F_{2i+3}-1,\,}$

де F_n — n-те число Фібоначчі (згідно загальноприйнятому ${\displaystyle F_{1}=F_{2}=1}$).

Згідно обчислень,

• 2 з'являється тільки один раз; всі більші ніж 2 числа з'являються більше, ніж один раз
• 4 та усі непарні прості числа (3, 5, 7, 11, ...) з'являються рівно 2 рази;
• 6 з'являється 3 рази;
• Багато чисел з'являються 4 рази.
• Кожне з наступних чисел з'являється 6 разів:

${\displaystyle {120 \choose 1}={16 \choose 2}={10 \choose 3}}$
${\displaystyle {210 \choose 1}={21 \choose 2}={10 \choose 4}}$
${\displaystyle {1540 \choose 1}={56 \choose 2}={22 \choose 3}}$
${\displaystyle {7140 \choose 1}={120 \choose 2}={36 \choose 3}}$
${\displaystyle {11628 \choose 1}={153 \choose 2}={19 \choose 5}}$
${\displaystyle {24310 \choose 1}={221 \choose 2}={17 \choose 8}}$

• Найменше число, що з'являється 8 разів — це 3003, яке є також першим членом нескінченного сімейства чисел Сінгмастера, що зустрічаються не менше 6 разів:

${\displaystyle {3003 \choose 1}={78 \choose 2}={15 \choose 5}={14 \choose 6}}$
Наступне число в нескінченному сімействі Сінгмастера, і наступне найменше відоме число, що з'являється шість і більше разів — це 61218182743304701891431482520. Невідомо, чи з'являються які-небудь числа більш ніж вісім разів. Існує гіпотеза, що максимальне число входжень не більше 8, але Сінгмастер вважає, що воно повинно бути 10 або 12.

• Біноміальний коефіцієнт

• Д. Сінгмастер (1971). Дослідження проблеми: Як часто цілі числа виступають в ролі біноміального коефіцієнта?. American Mathematical Monthly 78 (4): 385–386. JSTOR 2316907. MR 1536288..

• Д. Сінгмастер (1975). Повторення біноміальних коефіцієнтів і числа Фібоначчі. Квартальне періодичне видання Фібоначчі 13 (4): 295–298. MR 0412095..

• Г. Л. Еббот (1974). Скільки разів цілі числа виступають в ролі біноміального коефіцієнта?. American Mathematical Monthly 81 (3): 256–261. JSTOR 2319526. MR 0335283..

• Даніель Кейн (2007). Вдосконалені обмеження на кількість способів вираження t як біноміального коефіцієнта. Електронний журнал комбінаторної теорії чисел 7: #A53. MR 2373115..