Гармонічний осцилятор

Кінетична енергія гармонічного осцилятора задається виразом

${\displaystyle K={\frac {m}{2}}{\dot {q}}^{2}}$.

Потенціальна енергія гармонічного осцилятора задається виразом

${\displaystyle U={\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}}$.

Відповідно, вважаючи величину ${\displaystyle q}$ узагальненою координатою, функція Лагранжа гармонічного осцлятора записується

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {m{\dot {q}}^{2}}{2}}+{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}}$.

Узагальнений імпульс

${\displaystyle p={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}}}={\dot {q}}.}$

Функція Гамільтона

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}}$.

Під дією зовнішньої періодичної сили із частотою, яка не обов'язково збігається із власною частотою гармонічного осцилятора, осцилятор здійснює гармонічні коливання, аплітуда яких визначається величиною зовнішньої сили і співвідношенням зовнішньої частоти й власної частоти осцилятора.

Вимушені коливання гармонічного осцилятора із частотою ${\displaystyle \omega _{0}}$ під дією сили з частотою ${\displaystyle \omega }$описуються рівнянням

${\displaystyle {\ddot {q}}+\omega _{0}^{2}q=f_{0}\cos(\omega t-\varphi )}$,

де ${\displaystyle f_{0}}$ — амплітуда зовнішньої сили.

Частинний розв'язок цього рівняння, який описує вимушені коливання має вигляд

${\displaystyle q={\frac {f_{0}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}\cos(\omega t-\varphi )}$.

Гармонічний осцитор під дією зовнішньої сили здійснює гармонічні коливання з амплітудою ${\displaystyle f_{0}/(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})}$. При ${\displaystyle \omega \rightarrow \omega _{0}}$ амплітуда вимушених коливань прямує до нескінченості. Це явище називається резонансом.

При врахуванні сил тертя чи супротиву іншого роду, який призводить до дисипації енергії осцилятора й перетворенні її в тепло, рівняння гармонічного осцилятора змінюються. Зокрема дуже поширений випадок, коли сили супротиву пропорційні швидкості зміни величини ${\displaystyle q}$. Тоді рівняння гармонічного осцилятора набирає вигляду

${\displaystyle {\ddot {q}}+\gamma {\dot {q}}+\omega ^{2}q=0}$.

Такі коливання затухають із часом згідно із законом

${\displaystyle q=q_{0}e^{-\gamma t}\cos(\omega t-\varphi )}$.

При дії періодичної зовнішньої сили навіть при затуханні для осцилятора встановлюються гармонічні коливання із амплітудою, яка залежить від прикладеної сили, співвідношення частот, а також від величини затухання.

Амплітуда вимушених коливань із врахуванням затухання визначається формулою

${\displaystyle q_{0}={\frac {f_{0}(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\gamma ^{2}\omega ^{2}}}}$.

Це скінченна величина при всіх частотах зовнішньої сили.

Хвильові функції перших шести станів із квантовими числами від n = 0 до 5. На осі ординат відкладена узагальнена координата

Гамільтоніан гармонічного осцилятора отримується заміною у функції Гамільтона імпульсу ${\displaystyle p}$ на ${\displaystyle -i\hbar {\frac {d}{dq}}}$

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+{\frac {1}{2}}\omega ^{2}q^{2}}$.

Спектр гармонічного осцилятора знаходиться із стаціонарного рівняння Шредінгера й задається формулою

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$.

Тут ${\displaystyle n}$ — квантове число, яке пробігає значення від нуля до нескінченості. Енергетичні рівні гармонічного осцилятора еквідистантні. Характерною особливістю гармонічного осцилятора є те, що навіть у основному стані гармонічний осцилятор має відмінну від нуля енергію

${\displaystyle E_{0}={\frac {1}{2}}\hbar \omega }$.

Ця найнижча енергія називається енергією нульових коливань.

Власні функції гармонічного осцилятора, які відповідають квантовому числу ${\displaystyle n}$ задаються формулами

${\displaystyle \psi _{n}=e^{-x^{2}/2}H_{n}(x)}$,

де ${\displaystyle x=q{\sqrt {\omega /\hbar }}}$, а ${\displaystyle H_{n}(x)}$ — поліноми Ерміта.

При парному ${\displaystyle n}$ власні функції гармонічного осцилятора парні, при непраному — непарні. Гамільтоніан гармонічного осцилятора комутує із оператором заміни ${\displaystyle x}$ на ${\displaystyle -x}$ (оператором парності), а тому має спільні власні функції з цим оператором.

Якщо визначити оператор народження

${\displaystyle {\hat {a}}^{+}={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega }}}(\omega q-i{\hat {p}})}$

та оператор знищення

${\displaystyle {\hat {a}}={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega }}}(\omega q+i{\hat {p}})}$,

то

${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega \left({\hat {a}}^{+}{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)}$.

Оператори народження та знищення задовільняють комутаційному співвідношенню:

${\displaystyle {\hat {a}}{\hat {a}}^{+}-{\hat {a}}^{+}{\hat {a}}=1}$.

Власні функції гармонічного осцилятора тоді мають вигляд

${\displaystyle \psi _{n}={\sqrt {n!}}({\hat {a}}^{+})^{n}\psi _{0}}$,

або, використовуючи нотацію кет і бра-векторів:

${\displaystyle |n>={\sqrt {n!}}({\hat {a}}^{+})^{n}|0\rangle }$.

Загалом дія оператора народження на гармонійний оператор у стані |n> призводить до переходу в стан |n+1>:

${\displaystyle {\hat {a}}^{+}|n>={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle }$.

Дія оператора знищення на стан |n> призводить до переходу в стан |n-1>:

${\displaystyle {\hat {a}}|n>={\sqrt {n}}|n-1\rangle }$

Оператор

${\displaystyle {\hat {N}}={\hat {a}}^{+}{\hat {a}}}$

називають оператором числа частинок, оскільки для нього справедливе співвідношення.

${\displaystyle {\hat {N}}|n>=n|n\rangle }$

При випромінюванні чи поглинанні фотона дозволеними переходами для гармонічного осцилятора є такі, при яких квантове число n змінюється на одиницю. Враховуючи еквідистантність рівнів, це правило відбору призводить до того, що, незважаючи на нескінченне число рівнів, у спектрі оптичного поглинання чи випромінювання гармонічного осцилятора є лише одна лінія з частотою ${\displaystyle \omega }$.

У реальних коливних спектрах молекул можливі відхилення від цього правила, зумовлені ангармонічністю реального потенціалу міжатомної взаємодії, квадрупольними переходами і т. д.